大阪大学 後期理系 1997年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 1997年度
問No 問3
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 確率 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{430pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $\bekutoru{$x_1$} = (1,\,\,0),\,\,\, \bekutoru{$x_2$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \bekutoru{$x_3$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,-\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \veco = (0,\,\,0)$ とおく.\smallskip 3つのベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ の中から等確率\smallskip$\dfrac{1}{3}$で1つのベクトルを 取り出す試行を \\ $n$回繰り返す.\smallskip ただし, 各試行は互いに無関係に行われるものとする. このときベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ が取り出された回数をそれぞれ $n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ と する$(n_1 + n_2 + n_3 = n)$. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a,\,\,b,\,\,c$ を実数とする. このとき $a\bekutoru{$x_1$} + b\bekutoru{$x_2$} + c\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となるための必要十分条件は $a = b = c$ であることを証明せよ. \item  $n = 3m\,\,\,(mは自然数)$ のとき, $n_1\bekutoru{$x_1$} + n_2\bekutoru{$x_2$} + n_3\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となる確率を $P_m$ とする. \smallskip \begin{enumerate} \item[](イ)  $P_1$ を求めよ. \smallskip \item[](ロ)  一般に,自然数 $m$ に対して, $P_m$ を求めよ. \end{enumerate} \item  $m > 1$ に対して, \[ P_m < \frac{m}{m + 1}P_{m-1} \] であることを示せ. さらに,$\lim\limits_{m \to \infty} P_m = 0$ を示せ.\smallskip\\ \hfill(理学部 配点50点,工学部・基礎工学部 配点率30%) \end{enumerate} \end{document}