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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
後期理系 |
| 年度 |
1997年度 |
| 問No |
問3 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
確率 ・ ベクトル
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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$\bekutoru{$x_1$} = (1,\,\,0),\,\,\,
\bekutoru{$x_2$}
= \left(-\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\,
\bekutoru{$x_3$}
= \left(-\dfrac{1}{2},\,\,-\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\,
\veco = (0,\,\,0)$ とおく．\smallskip
3つのベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\,
\bekutoru{$x_3$}$ の中から等確率\smallskip$\dfrac{1}{3}$で1つのベクトルを
取り出す試行を \\
$n$回繰り返す．\smallskip
ただし，
各試行は互いに無関係に行われるものとする．
このときベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\,
\bekutoru{$x_3$}$ が取り出された回数をそれぞれ $n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ と
する$(n_1 + n_2 + n_3 = n)$．
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a,\,\,b,\,\,c$ を実数とする．
このとき $a\bekutoru{$x_1$} + b\bekutoru{$x_2$} + c\bekutoru{$x_3$}
= \veco$ となるための必要十分条件は $a = b = c$ であることを証明せよ．
\item
$n = 3m\,\,\,(mは自然数)$ のとき，
$n_1\bekutoru{$x_1$} + n_2\bekutoru{$x_2$} + n_3\bekutoru{$x_3$}
= \veco$ となる確率を $P_m$ とする．
\smallskip
\begin{enumerate}
\item[](イ)
$P_1$ を求めよ．
\smallskip
\item[](ロ)
一般に，自然数 $m$ に対して，
$P_m$ を求めよ．
\end{enumerate}
\item
$m > 1$ に対して，
\[
P_m < \frac{m}{m + 1}P_{m-1}
\]
であることを示せ．
さらに，$\lim\limits_{m \to \infty} P_m = 0$ を示せ．\smallskip\\
\hfill(理学部 配点50点，工学部・基礎工学部 配点率30％)
\end{enumerate}
\end{document}
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