大阪大学 前期理系 1991年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1991年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 図形と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 放物線 $y = ax^2 - bx + b$ と直線 $y = a^2x$ を考える. この放物線と直線は2交点P,\,\,Qをもち, PとQの$x$座標の差の絶対値は1であるという. ただし,$a > 0$ とする. 放物線の一部である弧PQ上の点と直線の距離の最大値を $d$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $d$ を $a$ を用いて表せ. \item  $d$ を最大にする $a$ と $b$ の値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1991年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 放物線 $y = ax^2 - bx + b$ と直線 $y = a^2x$ を考える. この放物線と直線は2交点P,\,\,Qをもち, PとQの$x$座標の差の絶対値は1であるという. ただし,$a > 0$ とする. 放物線の一部である弧PQ上の点と直線の距離の最大値を $d$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $d$ を $a$ を用いて表せ. \item  $d$ を最大にする $a$ と $b$ の値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 原点を通らない直線 \smallskip$l : y = px + 1$ と原点を通る直線 $l' : y = qx$ がある.行列 \smallskip$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ によって表される1次変換 $f$ は $l$ 上の点を $l'$ 上の点に移すものとする. $A^2$ が零行列でないとき $f$ による $l'$ の像は $l'$ であることを示せ.\\ \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 座標平面上で半径 $r\,\,\,(0 < r < 1)$ の円板 $D$ が, 原点を中心とする半径1の円に内接しながらすべらずにころがるとき, $D$ 上の定点Pの動きを調べる. ただし,$D$ の中心は原点のまわりを反時計まわりに進むものとする. はじめに $D$ の中心と点Pはそれぞれ$(1-r,\,\,0),\,\,\, (1 -r + a,\,\,0)$の位置にあるものとする $(0 < a \leqq r)$. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $D$ が長さ $\theta$ だけころがった位置にきたとき, 点Pの座標$(x,\,\,y)$を $\theta$ をもちいて表せ. \item  $D$ がころがり続けるとき, 点Pがいつか最初の位置に戻るための $r$ に対する条件を求めよ. \item  $r = \dfrac{1}{2}$ のとき, 点Pの軌跡を求め, その概形を図示せよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $f(x)$ は $0 < x < 1$ で定義された正の値をとる微分可能な関数で,\smallskip $\lim\limits_{x \to 1} f'(x) = \infty$ をみたし, さらに曲線 $C : y = f(x)$ は次の性質をもつという. $C$ 上に任意の点Pをとり, 原点Oと点Pを結ぶ直線と$x$軸のなす角を $\theta$ とするとき,\smallskip 点Pにおける曲線 $C$ の接線と$x$軸のなす角は $2\theta$ である. ただし,$\theta$ は $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ の範囲にあるものとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f(x)$ のみたす微分方程式を求めよ. \item  $g(x) = \dfrac{f(x)}{x} + \dfrac{x}{f(x)}$ とおく. $g(x)$ のみたす微分方程式を求めよ. \item  $f(x)$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 図のような正方形の4頂点A,B,C,Dを次の規則で移動する動点Qがある. サイコロを振って1の目が出れば, 反時計まわりに隣の頂点に移動し, 1以外の目が出れば, 時計まわりに隣の頂点に移動する. Qは最初Aにあるものとし, $n$回移動した後の位値を$\Q_n\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,\cdots)$とする. $\Q_{2n} = \A$ である確率を $a_n$ とおく. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_1$ を求めよ. \item  $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ. \item  $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \begin{center} %\input{osaka91s5f_zu_1} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 9.6000, 9.6000)( 10.7000,-16.0000) % BOX 2 0 3 0 % 2 1200 800 2000 1600 % \special{pn 8}% \special{pa 1200 800}% \special{pa 2000 800}% \special{pa 2000 1600}% \special{pa 1200 1600}% \special{pa 1200 800}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1080 1600 1080 1700 2 0 % {\footnotesize A} \put(10.8000,-17.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2030 1600 2030 1700 2 0 % {\footnotesize B} \put(20.3000,-17.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2030 710 2030 810 2 0 % {\footnotesize C} \put(20.3000,-8.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1070 720 1070 820 2 0 % {\footnotesize D} \put(10.7000,-8.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% \end{picture}% \end{center} \end{document}