大阪大学 前期理系 1980年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1980年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 空間に相異なる4点$\O(0,\,\,0,\,\,0),\,\, \A(a,\,\,0,\,\,0),\,\,\B(0,\,\,b,\,\,0),\,\, \C(c,\,\,c,\,\,c)$がある. ただし,$a,\,\,b$ は正の数とする. 4点O,\,\,A,\,\,B,\,\,Cへの距離がいずれも相等しい点$\P(x,\,\,y,\,\,z)$が$xy$平面に関してCと同じ側($xy$平面上は除く)にあるのは, $a,\,\,b,\,\,c$ にどのような関係があるときか. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\bfseries \sffamily 1980年 文系 第1問}と共通. \vskip 2zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1980年度理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 空間に相異なる4点$\O(0,\,\,0,\,\,0),\,\, \A(a,\,\,0,\,\,0),\,\,\B(0,\,\,b,\,\,0),\,\, \C(c,\,\,c,\,\,c)$がある. ただし,$a,\,\,b$ は正の数とする. 4点O,\,\,A,\,\,B,\,\,Cへの距離がいずれも相等しい点$\P(x,\,\,y,\,\,z)$が$xy$平面に関してCと同じ側($xy$平面上は除く)にあるのは, $a,\,\,b,\,\,c$ にどのような関係があるときか. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 整数 $a,\,\,b$ を係数とする2次式 $f(x) = x^2 + ax + b$ を考える. $f(\alpha) = 0$ となるような有理数 $\alpha$ が存在するとき, 以下のことを証明せよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\alpha$ は整数である. \item  任意の整数 $l$ と任意の自然数 $n$ に対して, $n$個の整数 $f(l),\,\,f(l+1),\,\,\cdots,\\ f(l+n-1)$ のうち少なくとも1つは % $n$ で割り切れる. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $b > 0,\,\,\,c > 0$ とし, 数列 $\{a_n\}$ は $a_1$ から順次 \[ a_n = ba_{n-1} + (-c)^{n-1} \quad(n \geqq 2) \] で定められるものとする. $a_1 \geqq 1$ のとき, すべての $n$ について $a_n \geqq 0$ となるために $b,\,\,c$ が 満足すべき必要十分条件は $b \geqq c$ であることを証明せよ. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 2つの袋があって, そのどちらにも, 赤玉1つ白玉1つの計2個ずつの玉が入っている. 両方の袋からでたらめに(無作為に)玉を1つずつ取り出して入れ替える. この操作を$n$回引き続いて行ったとき, 初めのように各袋に赤玉と白玉が1つずつ入っている 確率を $p_n$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n \geqq 2$ として, $p_{n-1}$ と $p_n$ の関係式を求めよ. \item  $p_n$ を求め, さらに $\lim\limits_{n \to \infty} p_n$ を求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 次の条件を満たす関数 $f(x)\,\,\,(x > 0)$ を求めよ. 曲線 $C : y = f(x)\,\,\,(x > 0)$ 上の任意の点Pにおける接線と$x$軸との交点をQとすると,線分PQは$y$軸によって2等分される. また, 点$(0,\,\,3)$と $C$ 上の点との距離の最小値は$\sqrt{\vphantom{b} 2}$である. \hfill(満点40点) \end{document}