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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
前期理系 |
| 年度 |
1980年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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空間に相異なる4点$\O(0,\,\,0,\,\,0),\,\,
\A(a,\,\,0,\,\,0),\,\,\B(0,\,\,b,\,\,0),\,\,
\C(c,\,\,c,\,\,c)$がある．
ただし，$a,\,\,b$ は正の数とする．
4点O,\,\,A,\,\,B,\,\,Cへの距離がいずれも相等しい点$\P(x,\,\,y,\,\,z)$が$xy$平面に関してCと同じ側($xy$平面上は除く)にあるのは，
$a,\,\,b,\,\,c$ にどのような関係があるときか．
\hfill(満点40点)
\vskip 2zw
\hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\bfseries \sffamily 1980年 文系 第1問}と共通．
\vskip 2zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1980年度理系}の全問題を挙げる．
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
空間に相異なる4点$\O(0,\,\,0,\,\,0),\,\,
\A(a,\,\,0,\,\,0),\,\,\B(0,\,\,b,\,\,0),\,\,
\C(c,\,\,c,\,\,c)$がある．
ただし，$a,\,\,b$ は正の数とする．
4点O,\,\,A,\,\,B,\,\,Cへの距離がいずれも相等しい点$\P(x,\,\,y,\,\,z)$が$xy$平面に関してCと同じ側($xy$平面上は除く)にあるのは，
$a,\,\,b,\,\,c$ にどのような関係があるときか．
\hfill(満点40点)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
整数 $a,\,\,b$ を係数とする2次式 $f(x) = x^2 + ax + b$ を考える．
$f(\alpha) = 0$ となるような有理数 $\alpha$ が存在するとき，
以下のことを証明せよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\alpha$ は整数である．
\item
任意の整数 $l$ と任意の自然数 $n$ に対して，
$n$個の整数 $f(l),\,\,f(l+1),\,\,\cdots,\\
f(l+n-1)$ のうち少なくとも1つは %
$n$ で割り切れる．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$b > 0,\,\,\,c > 0$ とし，
数列 $\{a_n\}$ は $a_1$ から順次
\[
a_n = ba_{n-1} + (-c)^{n-1} \quad(n \geqq 2)
\]
で定められるものとする．
$a_1 \geqq 1$ のとき，
すべての $n$ について $a_n \geqq 0$ となるために $b,\,\,c$ が
満足すべき必要十分条件は $b \geqq c$ であることを証明せよ．
\hfill(満点40点)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
2つの袋があって，
そのどちらにも，
赤玉1つ白玉1つの計2個ずつの玉が入っている．
両方の袋からでたらめに(無作為に)玉を1つずつ取り出して入れ替える．
この操作を$n$回引き続いて行ったとき，
初めのように各袋に赤玉と白玉が1つずつ入っている
確率を $p_n$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$n \geqq 2$ として，
$p_{n-1}$ と $p_n$ の関係式を求めよ．
\item
$p_n$ を求め，
さらに $\lim\limits_{n \to \infty} p_n$ を求めよ．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
次の条件を満たす関数 $f(x)\,\,\,(x > 0)$ を求めよ．
曲線 $C : y = f(x)\,\,\,(x > 0)$ 上の任意の点Pにおける接線と$x$軸との交点をQとすると，線分PQは$y$軸によって2等分される．
また，
点$(0,\,\,3)$と $C$ 上の点との距離の最小値は$\sqrt{\vphantom{b} 2}$である．
\hfill(満点40点)
\end{document}
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