大阪大学 前期理系 1989年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1989年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 1次変換 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a-2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $f$ と表す.\smallskip 原点を通る直線 $l$ の $f$ による像を $f(l)$ とし, $l$ と $f(l)$ とが直交するとき, $l$ は``性質Pをもつ''ということにする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a$ がどのような範囲にあるとき, 性質Pをもつ $l$ が存在するか. \item  $a$ がどのような値のとき,\smallskip 性質Pをもつ $l$ が2本存在して, それらのなす角が$\dfrac{\pi}{3}$になるか. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1989年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 1次変換 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a-2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $f$ と表す.\smallskip 原点を通る直線 $l$ の $f$ による像を $f(l)$ とし, $l$ と $f(l)$ とが直交するとき, $l$ は``性質Pをもつ''ということにする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a$ がどのような範囲にあるとき, 性質Pをもつ $l$ が存在するか. \item  $a$ がどのような値のとき,\smallskip 性質Pをもつ $l$ が2本存在して, それらのなす角が$\dfrac{\pi}{3}$になるか. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 正の整数 $n$ に対して $x_n = r^n \sin n\theta\,\,\, \left(ただし,\,\,\,r > 0,\,\,\,0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right)$ と おく.\smallskip \\ $x_1 = \dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{4},\,\,\, x_2 = \dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{8}$ であるとき % $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$ の値を求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 鋭角三角形ABCが与えられている. 点Aを1つの頂点とする長方形ADEFが, 次の条件(イ),\,\,(ロ)を満たしながら変化するものとする. \begin{enumerate} \item[(イ)]  辺DE上に点Bがある. \item[(ロ)]  辺EF上に点Cがある. \end{enumerate} このとき,長方形ADEFの面積の最大値を $\theta,\,\,b,\,\,c$ を用いて表せ. ただし,\\ $\theta = \angle\B\A\C,\,\,\, b = \C\A,\,\,\,c = \A\B$ である. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $a$ は正の定数とする. $t > 1$ に対し, 曲線 $y = x^a\log x$ 上の点 $\P = (t,\,\,t^a\log t)$ における接線が, $x$軸と交わる点をQとし, 点$(t,\,\,0)$をRとする. 三角形PQRの面積を $S_1(t)$, 曲線 $y = x^a\log x$ の $x \geqq 1$ の部分と, 2つの直線 $y = 0,\,\,\,x = t$ とで囲まれる部分の面積を $S_2(t)$ とする. \smallskip $\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$ の値を求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm $xy$平面上の点集合 $\{(i,\,\,j)\,|\,i = 0,\,\,1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n\,;\, j = 0,\,\,1,\,\,2,\,\,3\}$ を $S$ とする. ただし $n$ は正の整数である. 両端が $S$ の点であるような長さ1の線分の集合を $M$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $M$ の相異なる$m$本の元のえらび方は何通りあるか. \item  相異なる$(n+3)$本の $M$ の元をえらぶとき, 点$(0,\,\,0)$と点$(n,\,\,3)$とがこれらの線分でつながる確率を求めよ. \item  相異なる$(n+4)$本の $M$ の元をえらぶとき, 点$(0,\,\,0)$と点$(n,\,\,3)$とがこれらの線分でつながる確率を求めよ.  たとえば $n = 5,\,\,\,m = 14$ で次のような場合は, 点$(0,\,\,0)$と点$(5,\,\,3)$とはつながっていると考える. \hfill(配点率20%) \begin{center} %\input{osaka89s5f_zu_2}% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 19.6400, 12.4700)( 6.6000,-18.7000) % DOT 0 0 3 0 % 24 2588 1864 2588 1504 2588 1144 2588 784 2228 784 2228 1144 2228 1504 2228 1864 1868 1864 1868 1504 1868 1144 1868 784 1508 784 1508 1144 1508 1504 1508 1864 1148 1864 1148 1504 1148 1144 1148 784 788 784 788 1144 788 1504 788 1864 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2588 1864 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 2588 1504 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 2588 1144 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 2588 784 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 2228 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