解答を見る
解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
後期文系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問4 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
微分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$a$ は負でない実数とする.\smallskip
$-\Frac{1}{2}\leqq\Frac{x-y}{x+y}\leqq\Frac{1}{2}$\smallskip
をみたすすべての正の実数 $x$,$y$ に対し,
$x^3-3a^2xy^2+2y^3\geqq 0$ が成り立つような $a$ の範囲を
求めよ.
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\quad$\Frac{x}{y}=t$ とおくと,$x>0$,$y>0$ により $t>0$ で,
$-\Frac{\,1\,}{\,2\,}\leqq\Frac{x/y-1}{x/y+1}\leqq\Frac{\,1\,}{\,2\,}$ から,$t$ の変域は
\begin{equation}
-\frac{\,1\,}{2}\leqq \frac{t-1}{t+1}\leqq \frac{\,1\,}{2}\qquad\therefore\quad \frac{1}{3}\leqq t\leqq 3\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{1}}
\end{equation}
となる.また,
\begin{gather}
x^3-3a^2xy^2+2y^3=y^3\{(x/y)^3-3a^2(x/y))+2\}\geqq 0\notag\\
\therefore\quad t^3-3a^2t+2\geqq0\qquad\therefore\quad t^3+2\geqq 3a^2t\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{2}}
\end{gather}
よって,\maru{1}をみたすすべての $t$ について\maru{2}が成り立つような
$a$ の範囲を求めればよい.\par
$s=t^3+2$,$s=3a^2t$ のグラフの\maru{1}の範囲での上下関係を考える.原点
を通る $s=t^3+2$ の接線の $t(>0)$ 座標は
\begin{equation}
\frac{t^3+2}{t}=3t^2\qquad\therefore\quad t=1\notag\medskip
\end{equation}
\begin{minipage}{\linewidth-13zw}
だから,これは\maru{1}をみたす.このとき,接線の傾きは $3$ でグラフより,求める $a\,(\geqq0)$ の範囲は
\begin{equation}
3a^2\leqq 3\qquad\therefore\quad \ans{0\leqq a\leqq 1}\notag
%\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\textgt{(答)}}
\end{equation}
\end{minipage}\hfill
\raisebox{1\baselineskip}{\parbox[t][\height][b]{11zw}{\input{96kl4fig.tex}}}
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}