京都大学 後期文系 1996年度 問4

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期文系
年度 1996年度
問No 問4
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $a$ は負でない実数とする.\smallskip  $-\Frac{1}{2}\leqq\Frac{x-y}{x+y}\leqq\Frac{1}{2}$\smallskip をみたすすべての正の実数 $x$,$y$ に対し, $x^3-3a^2xy^2+2y^3\geqq 0$ が成り立つような $a$ の範囲を 求めよ. \end{FRAME} \iffalse %kai \quad$\Frac{x}{y}=t$ とおくと,$x>0$,$y>0$ により $t>0$ で, $-\Frac{\,1\,}{\,2\,}\leqq\Frac{x/y-1}{x/y+1}\leqq\Frac{\,1\,}{\,2\,}$ から,$t$ の変域は \begin{equation} -\frac{\,1\,}{2}\leqq \frac{t-1}{t+1}\leqq \frac{\,1\,}{2}\qquad\therefore\quad \frac{1}{3}\leqq t\leqq 3\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{1}} \end{equation} となる.また, \begin{gather} x^3-3a^2xy^2+2y^3=y^3\{(x/y)^3-3a^2(x/y))+2\}\geqq 0\notag\\ \therefore\quad t^3-3a^2t+2\geqq0\qquad\therefore\quad t^3+2\geqq 3a^2t\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{2}} \end{gather} よって,\maru{1}をみたすすべての $t$ について\maru{2}が成り立つような $a$ の範囲を求めればよい.\par  $s=t^3+2$,$s=3a^2t$ のグラフの\maru{1}の範囲での上下関係を考える.原点 を通る $s=t^3+2$ の接線の $t(>0)$ 座標は \begin{equation} \frac{t^3+2}{t}=3t^2\qquad\therefore\quad t=1\notag\medskip \end{equation} \begin{minipage}{\linewidth-13zw} だから,これは\maru{1}をみたす.このとき,接線の傾きは $3$ でグラフより,求める $a\,(\geqq0)$ の範囲は \begin{equation} 3a^2\leqq 3\qquad\therefore\quad \ans{0\leqq a\leqq 1}\notag %\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\textgt{(答)}} \end{equation} \end{minipage}\hfill \raisebox{1\baselineskip}{\parbox[t][\height][b]{11zw}{\input{96kl4fig.tex}}} %\betu %\chu \fi \end{document}