京都大学 後期文系 1996年度 問3

解答を見る

解答作成者: 米村 明芳

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期文系
年度 1996年度
問No 問3
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。

\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 平面上に60度で交わる2直線 $l$,$m$ がある.この平面上に点 $\mathrm{P}_1$ をとり,$\mathrm{P}_1$ と直線 $l$ について対称な点を $\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_1$ と直線 $m$ について対称な点を $\mathrm{P}_2$ と定め,以下同様に点 $\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{P}_3$, $\cdots$ を定める. \begin{toi} \item $\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$ となることを示せ. \item 点 $\mathrm{P}_1$ が2直線 $l$,$m$ の交点を中心とし半径1の円周上 を動くとき,点 $\mathrm{P}_1$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{P}_2$, $\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{Q}_3$,$\mathrm{P}_4$ をこ の順に結ぶ折れ線の長さの最大値を求めよ. \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai (1)一般に,座標平 面で原点Oを通る方向角(偏角)$\alpha$ の直線に関する対称移動によって, 原点からの距離は変わらず, 偏角は $\theta\to 2\alpha-\theta$ と変化する.\\  $l$,$m$の交点を原点Oとし,$l$ を $x$ 軸としてよい.このとき,$\text{P}_1$の偏角 を$\theta$ とし,$\text{P}_1(\theta)$ とあらわすと \[ \text{P}_1(\theta)\to\text{Q}_1(-\theta)\to\text{P}_2(120^\circ+\theta) \] よって, \[ \text{P}_3(240^\circ)\text{, }\text{P}_4(360^\circ+\theta)=\text{P}_1(\theta) \] となり,$\text{P}_4=\text{P}_1$.\\ (2)一般に,A$(\cos\alpha,\sin\alpha)$,B$(\cos\beta,\sin\beta)$ とする と, \begin{gather*} \text{AB}^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\ =2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\ =2-2\cos(\alpha-\beta)=4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \therefore\quad\text{AB}=2\Bigl|\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\Bigr| \end{gather*}  よって,(1)より \[ \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1+\text{Q}_1\mathrm{P}_2=2|\sin\theta|+2|\sin(\theta+60^\circ)| \] $\theta\to\theta+120^\circ\to\theta+240^\circ$ として \begin{gather*} \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2+\text{Q}_2\mathrm{P}_3=2|\sin(\theta+120^\circ|+2|\sin(\theta+180^\circ)|\\ \mathrm{P}_3\mathrm{Q}_3+\text{Q}_3\mathrm{P}_4=2|\sin(\theta+240^\circ|+2|\sin(\theta+300^\circ)| \end{gather*} よって,求める長さを $L(\theta)$ とおくと, \begin{gather*} L(\theta)=2|\sin\theta|+2|\sin(\theta+60^\circ)|+2|\sin(\theta+120^\circ|+\\\hspace{3zw}+2|\sin(\theta+180^\circ)|+2|\sin(\theta+240^\circ|+2|\sin(\theta+300^\circ)|\\ =4(|\sin\theta|+|\sin(\theta+60^\circ)|+|\sin(\theta+120^\circ|) \end{gather*} $L(\theta+60^\circ)=L(\theta)$ だから,$0^\circ\leqq\theta\leqq 60^\circ$ のときを考えればよい.このとき, \begin{gather*} L(\theta)=4(\sin\theta+\sin(\theta+60^\circ)+\sin(\theta+120^\circ)\\ =4\Bigl(\sin\theta+\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta-\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\Bigr)\\ =4(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)=8\sin(\theta+60^\circ) \end{gather*} よって,求める最大値は 8\hfill$\cdots\cdots\cdots$\textgt{(答)} \bigskip \chu 最後のmaxは単位円上の3点を考えてもできる. %\betu %\chu \fi \end{document}