京都大学 後期文系 1996年度 問2

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期文系
年度 1996年度
問No 問2
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 数と式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $n$ は2以上の自然数,$p$ は素数,$a_0$,$a_1$, $\cdots$,$a_{n-1}$ は整数とし,$n$ 次式  \[ f(x)=x^n+pa_{n-1}x^{n-1}+\cdots+pa_{i}x^i+\cdots+pa_0 \] を考える. \begin{toi} \item 方程式 $f(x)=0$ が整数解 $\alpha$ を持てば, $\alpha$ は $p$ で割り切れることを示せ. \item $a_0$ が $p$ で割り切れなければ,方程式 $f(x)=0$ % は整数解を持たないことを示せ. \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \kakko{1} $x=\alpha$が整数解だから \[ f(\alpha)=0\yueni \alpha^n=-p(a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_i\alpha^i+\cdots+a_0) \] であり,上式(\quad)部は整数だから,$\alpha^n$は素数$p$で割り切れ, $\alpha$は$p$で割り切れる. \kakko{2} 方程式$f(x)=0$が整数解$\alpha$をもつとする. $f(\alpha)=0$により \[ \alpha^n+pa_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+pa_i\alpha^i+\cdots+pa_1\alpha=-pa_0 \] であり,ここで\kakko{1}から$\alpha$が$p$で割り切れるので,上式左辺は $p^2$で割り切れる($n\geqq2$).したがって,右辺$pa_0$も$p^2$で割り切れ, $a_0$は$p$で割り切れ,仮定に反する.よって,$f(x)=0$は整数解を もたない.\qed \medskip \chu Eisensteinの既約性定理の一部. %\betu %\chu \fi \end{document}