京都大学 後期文系 1996年度 問1

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期文系
年度 1996年度
問No 問1
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad \begin{toi} \item $\cos 5\theta=f(\cos\theta)$ をみたす多項式 $f(x)$ を 求めよ.\smallskip \item $\cos\dfrac{\pi}{10} \cos\dfrac{3\pi}{10} \cos\dfrac{7\pi}{10} \cos\dfrac{9\pi}{10}=\dfrac{5}{16}$ % を示せ. \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \kakko{1} \begin{gather*} \cos 5\theta=\cos 3\theta \cos 2\theta-\sin 3\theta\sin2 \theta\\ =(4\cos^3\theta-3\cos\theta)(2\cos^2\theta-1)-\sin\theta(4\cos^2\theta-1)(2\sin\theta\cos\theta)\\ =16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta \end{gather*} よって, \begin{equation} f(x)=\ans{16x^5-20x^3+5x}\notag%\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\textgt{(答)}} \end{equation} \kakko{2} $\theta_k=(2k-1)\theta$ ($k=1,2,3,4,5$)とおくと \[ f(\cos\theta_k)=\cos 5\theta_k=\cos((2k-1)180^\circ)=0 \] だから,$x=\cos\theta_k$ は \[ f(x)=16x^5-20x^3+5x=0\qquad \therefore x(16x^4-20x^2+5)=0 \] の異なる $5$ 解である.$\cos\theta_3=\cos 5\theta=\cos 90^\circ=0$ だから $\cos\theta_k$ ($k=1,2,4,5$) は $16x^4-20x^2+5=0$ の $4$ 解となり,解と係数の関係 から(定数項を比較して) \begin{equation*} \cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_4\cos\theta_5=\ans{\frac{5}{16}} \end{equation*} %\betu %\chu \fi \end{document}