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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
後期文系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問1 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
三角関数
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
\begin{toi}
\item $\cos 5\theta=f(\cos\theta)$ をみたす多項式 $f(x)$ を
求めよ.\smallskip
\item $\cos\dfrac{\pi}{10} \cos\dfrac{3\pi}{10}
\cos\dfrac{7\pi}{10} \cos\dfrac{9\pi}{10}=\dfrac{5}{16}$ %
を示せ.
\end{toi}
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\kakko{1}
\begin{gather*}
\cos 5\theta=\cos 3\theta \cos 2\theta-\sin 3\theta\sin2 \theta\\
=(4\cos^3\theta-3\cos\theta)(2\cos^2\theta-1)-\sin\theta(4\cos^2\theta-1)(2\sin\theta\cos\theta)\\
=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta
\end{gather*}
よって,
\begin{equation}
f(x)=\ans{16x^5-20x^3+5x}\notag%\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\textgt{(答)}}
\end{equation}
\kakko{2}
$\theta_k=(2k-1)\theta$ ($k=1,2,3,4,5$)とおくと
\[
f(\cos\theta_k)=\cos 5\theta_k=\cos((2k-1)180^\circ)=0
\]
だから,$x=\cos\theta_k$ は
\[
f(x)=16x^5-20x^3+5x=0\qquad \therefore x(16x^4-20x^2+5)=0
\]
の異なる $5$ 解である.$\cos\theta_3=\cos 5\theta=\cos 90^\circ=0$ だから $\cos\theta_k$
($k=1,2,4,5$) は $16x^4-20x^2+5=0$ の $4$ 解となり,解と係数の関係
から(定数項を比較して)
\begin{equation*}
\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_4\cos\theta_5=\ans{\frac{5}{16}}
\end{equation*}
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}