京都大学 後期理系 1996年度 問6

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期理系
年度 1996年度
問No 問6
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \newcommand{\dai}[1]{\ensuremath{\Bigl(#1\Bigr)}} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $n$ を3以上の整数とする.円周上の $n$ 等分点のある点を 出発点とし,$n$ 等分点を一定の方向に次のように進む.各点 でコインを投げ,表が出れば次の点に進み,裏が出れば次の点 を跳び越しその次の点に進む. \begin{toi} \item 最初に1周まわったとき,出発点を跳び越す確率 $p_n$ を求めよ. \item $k$ は 2 以上の整数とする.$k-1$ 周目までは出発点 を跳び越し,$k$ 周目に初めて出発点を踏む確率を $q_{n,k}$ とする.このとき $\dlim_{n \to \infty}q_{n,k}$ を求めよ. \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \quad 題意は$n\geqq 2$で成り立つので,以下$p_2$も含めて考えることにする.\\ \kakko{1} 出発点を0とし,順に分点を1,2,...,$n-1$とする.1周まわったとき0を跳 び越すのは,$n-1$を踏んで裏が出るときである.ここで,「$n-1$を踏む」の は「$n-1$を跳び越さない」場合だから,その確率は$1-p_{n-1}$.よって, \[ p_{n}=(1-p_{n-1})\cdot\frac{1}{2}\quad\therefore\ p_n-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\Bigl(p_{n-1}-\frac{1}{3}\Bigr) \] また,$n=2$のときは,表裏とでるときで$p_2=\dfrac{1}{4}$ %$n=3$のときは,表表裏,裏裏とでるときで % $p_3=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}$ \[ \therefore\ p_n=\frac{1}{3}+\Bigl(-\frac{1}{2}\Bigr)^{n-2}\Bigl(p_2-\frac{1}{3}\Bigr)=\ans{\frac{1}{3}\Bigl\{1-\Bigl(-\frac{1}{2}\Bigr)^n\Bigr\}} \] \kakko{2} 1周目に0を跳び越す確率は$p_n$で,このとき2周め目は1からはじまる.もう1周 まわって0を踏まない確率は$p_{n-1}$で,このとき3周目は1からはじまる.こ れを$k-1$周目までくりかえし,$k$周目には1からはじめて0を踏む確率は $1-p_{n-1}$.よって, \[ q_{n,k}=p_n\cdot {p_{n-1}}^{k-2}\cdot(1-p_{n-1}) \] ここで,\kakko{1}の結果から,$n\to\infty$のとき$p_n\to\dfrac{1}{3}$ だから \[ q_{n,k}\to\frac{1}{3}\cdot\dai{\frac{1}{3}}^{k-2}\cdot\dai{1-\frac{1}{3}}= \ans{\frac{2}{3^k}} \] \biggskip \chu $1-p_n=q_n$とおくと,これはよくある問題で漸化式は \[ q_n=\frac{1}{2}q_{n-1}+\frac{1}{2}q_{n-2} \] となる.しかし,こちらへもっていくと遠回り. %\betu %\chu \fi \end{document}