京都大学 後期理系 1996年度 問5

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期理系
年度 1996年度
問No 問5
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $a$ は与えられた実数で,$0<a\leqq 1$ をみたすものとす る.$xyz$ 空間内に1辺の長さ $2a$ の正三角形 $\bigtriangleup$PQR を考える.辺 PQ は $xy$ 平面上にあり, $\bigtriangleup$PQR を含む平面は $xy$ 平面と垂直で,さら に点 R の $z$ 座標は正であるとする. \begin{toi} \item 辺 PQ が $xy$ 平面の単位円の内部(周を含む)を自 由に動くとき,$\bigtriangleup$PQR (内部を含む)が 動いてできる立体の体積 $V$ を求めよ. \item $a$ が $0<a\leqq 1$ の範囲を動くとき,体積 $V$ の 最大値を求めよ. \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \ajKakko{1}\ PQの中点をMとする.P,Qが単位円周上を動くとき,Mは原点を中 心とする半径$\sqrt{1-a^2}$の円を描く.したがって,P,Qが単位円の内部も動くと き,Mはこの円の周および内部を動く. \quad 平面$z=t\ (0\leqq t\leqq\sqrt{3}a)$による三角形PQRの切り口は線分 $\hen{P'Q'}$であり, $\hen{P'Q'}$の中点を\hen{M'}とすると ($t=\sqrt{3}a$のときは$\hen{P'}=\hen{Q'}=\hen{M'}$), \[ \hen{PM'}:\hen{PM}=\sqrt{3}a-t : \sqrt{3}a=\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}a}\Bigr) : 1 \] \[ \therefore\quad \hen{P'Q'}=2a\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}a}\Bigr) \] \begin{center} \input{96ks5fig1.tex} \end{center} \hen{M'}は,\hen{M}の真上の点だから, 平面$z=t$上で点$\hen{O}'(0,\ 0,\ t)$を中心とする半径$\sqrt{1-a^2}$の円を 描く.したがって,線分\hen{P'Q'}の動く範囲は,\hen{O'}を中心とする円板で その半径を$r$とすると \[ r^2=(1-a^2)+a^2\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}a}\Bigr)^2 \] であり,この円板が着目する立体の平面$z=t$による切り口である.したがって, \begin{align*} V&=\int_0^{\sqrt{3}a}\pi r^2\,dt=\pi\int_0^{\sqrt{3}a}\Bigl\{(1-a^2)+a^2\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}a}\Bigr)^2\Bigr\} \,dt\\ &=\pi\int_0^1\{1-a^2+a^2(1-s)^2\}\sqrt{3}a\,ds\qquad (t=\sqrt{3}as)\\ &=\sqrt{3}\pi a\Bigl\{(1-a^2)+\Frac{1}{3}a^2\Bigr\}\\ &=\ans{\sqrt{3}\pi a\Bigl(1-\Frac{2}{3}a^2\Bigr) } \end{align*} \ajKakko{2}\ $0<a\leqq1$において \[ \Frac{dV}{da}=\sqrt{3}\pi(1-2a^2) \] だから,$a=1/\sqrt{2}$のとき$V$は最大となり,このとき \[ V=\sqrt{3}\pi\cdot\Frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(1-\Frac{1}{3}\Bigr)=\ans{\Frac{\sqrt{6}}{3}\pi} \] %\betu %\chu \fi \end{document}