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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
後期理系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問5 |
学部 |
理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
|
カテゴリ |
積分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$a$ は与えられた実数で,$0<a\leqq 1$ をみたすものとす
る.$xyz$ 空間内に1辺の長さ $2a$ の正三角形
$\bigtriangleup$PQR を考える.辺 PQ は $xy$ 平面上にあり,
$\bigtriangleup$PQR を含む平面は $xy$ 平面と垂直で,さら
に点 R の $z$ 座標は正であるとする.
\begin{toi}
\item 辺 PQ が $xy$ 平面の単位円の内部(周を含む)を自
由に動くとき,$\bigtriangleup$PQR (内部を含む)が
動いてできる立体の体積 $V$ を求めよ.
\item $a$ が $0<a\leqq 1$ の範囲を動くとき,体積 $V$ の
最大値を求めよ.
\end{toi}
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\ajKakko{1}\ PQの中点をMとする.P,Qが単位円周上を動くとき,Mは原点を中
心とする半径$\sqrt{1-a^2}$の円を描く.したがって,P,Qが単位円の内部も動くと
き,Mはこの円の周および内部を動く.
\quad 平面$z=t\ (0\leqq t\leqq\sqrt{3}a)$による三角形PQRの切り口は線分
$\hen{P'Q'}$であり,
$\hen{P'Q'}$の中点を\hen{M'}とすると ($t=\sqrt{3}a$のときは$\hen{P'}=\hen{Q'}=\hen{M'}$),
\[
\hen{PM'}:\hen{PM}=\sqrt{3}a-t :
\sqrt{3}a=\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}a}\Bigr) : 1
\]
\[
\therefore\quad \hen{P'Q'}=2a\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}a}\Bigr)
\]
\begin{center}
\input{96ks5fig1.tex}
\end{center}
\hen{M'}は,\hen{M}の真上の点だから,
平面$z=t$上で点$\hen{O}'(0,\ 0,\ t)$を中心とする半径$\sqrt{1-a^2}$の円を
描く.したがって,線分\hen{P'Q'}の動く範囲は,\hen{O'}を中心とする円板で
その半径を$r$とすると
\[
r^2=(1-a^2)+a^2\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}a}\Bigr)^2
\]
であり,この円板が着目する立体の平面$z=t$による切り口である.したがって,
\begin{align*}
V&=\int_0^{\sqrt{3}a}\pi
r^2\,dt=\pi\int_0^{\sqrt{3}a}\Bigl\{(1-a^2)+a^2\Bigl(1-\Frac{t}{\sqrt{3}a}\Bigr)^2\Bigr\}
\,dt\\
&=\pi\int_0^1\{1-a^2+a^2(1-s)^2\}\sqrt{3}a\,ds\qquad (t=\sqrt{3}as)\\
&=\sqrt{3}\pi a\Bigl\{(1-a^2)+\Frac{1}{3}a^2\Bigr\}\\
&=\ans{\sqrt{3}\pi a\Bigl(1-\Frac{2}{3}a^2\Bigr) }
\end{align*}
\ajKakko{2}\ $0<a\leqq1$において
\[
\Frac{dV}{da}=\sqrt{3}\pi(1-2a^2)
\]
だから,$a=1/\sqrt{2}$のとき$V$は最大となり,このとき
\[
V=\sqrt{3}\pi\cdot\Frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(1-\Frac{1}{3}\Bigr)=\ans{\Frac{\sqrt{6}}{3}\pi}
\]
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}