京都大学 後期理系 1996年度 問4

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期理系
年度 1996年度
問No 問4
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 図形と方程式 ・ ベクトル ・ いろいろな曲線
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $x$,$y$ は $x+y>0$,$x-y>0$ をみたす実数とする.ある4 面体の隣り合う2辺の長さが $\sqrt{x+y}$,$\sqrt{x-y}$ で, 残り4辺の長さはすべて 1 であるという.このような条件をみた す点 $(x,y)$ の存在範囲を図示せよ. \end{FRAME} \iffalse %kai \quad 4面体をABCDとし,$\hen{DB}=\ssqrt{x+y}$, $\hen{DC}=\ssqrt{x-y}$ とし,他の辺はすべて $1$ とする. このとき,1辺の長さ $1$ の正3角形ABCを $XYZ$空間の$XY$ 平面上におき A$\Bigl(\dfrac{1}{\sqrt{3}},0\Bigr)$, B$\Bigl(-\dfrac{1}{2\sqrt{3}},\dfrac{1}{\,2\,}\Bigr)$, C$\Bigl(-\dfrac{1}{2\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\,2\,}\Bigr)$ とすることができ る.このときD$(p,\ q,\ r)\ (r\geqq0)$ とおけるが, 4面体ができることから $r>0$. \quad$\text{DA}=1$, $\text{DB}=\ssqrt{x+y}$,$\hen{DC}=\ssqrt{x-y}$ により \begin{gather} \Bigl(p-\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+q^2+r^2=1\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{1}}\\ \Bigl(p+\frac{1}{2\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Bigl(q-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^2+r^2=x+y\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{2}}\\ \Bigl(p+\frac{1}{2\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Bigl(q+\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^2+r^2=x-y\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{3}} \end{gather} \maru{1}を\maru{2},\maru{3}に用いて \begin{gather} \sqrt{3}\,p-q+1=x+y\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{4}}\\ \sqrt{3}\,p+q+1=x-y\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{5}} \end{gather} $\maru{5}-\maru{4}$ により $q=-y$ で,このとき\maru{4}から $p=\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}$.これらを\maru{1}に代入して \begin{equation} \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}x-\frac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+y^2+r^2=1\quad\therefore\quad r^2=1-\frac{1}{3}(x-2)^2-y^2\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\maru{6}} \end{equation} よって,題意をみたす4面体が存在する条件は,\maru{6}をみたす $r>0$ が存在することから \[ \frac{1}{3}(x-2)^2+y^2<1 \] これと $x+y>0$,$x-y>0$ とから点 $(x,y)$ の存在範囲は次の図. \begin{center} % \includegraphics{../00Kwin/96ks4fig1.eps} \input{96ks4fig} \end{center} %\betu %\chu \fi \end{document}