すうじあむ

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 平面上に60度で交わる2直線 $l$，$m$ がある．この平面上に点 $\mathrm{P}_1$ をとり，$\mathrm{P}_1$ と直線 $l$ について対称な点を $\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_1$ と直線 $m$ について対称な点を $\mathrm{P}_2$ と定め，以下同様に点 $\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{P}_3$， $\cdots$ を定める． \begin{toi} \item $\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$ となることを示せ． \item 点 $\mathrm{P}_1$ が2直線 $l$，$m$ の交点を中心とし半径1の円周上 を動くとき，点 $\mathrm{P}_1$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$， $\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{Q}_3$，$\mathrm{P}_4$ をこ の順に結ぶ折れ線の長さの最大値を求めよ． \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai （1）一般に，座標平 面で原点Oを通る方向角（偏角）$\alpha$ の直線に関する対称移動によって， 原点からの距離は変わらず， 偏角は $\theta\to 2\alpha-\theta$ と変化する．\\ 　$l$，$m$の交点を原点Oとし，$l$ を $x$ 軸としてよい．このとき，$\text{P}_1$の偏角 を$\theta$ とし，$\text{P}_1(\theta)$ とあらわすと \[ \text{P}_1(\theta)\to\text{Q}_1(-\theta)\to\text{P}_2(120^\circ+\theta) \] よって， \[ \text{P}_3(240^\circ)\text{， }\text{P}_4(360^\circ+\theta)=\text{P}_1(\theta) \] となり，$\text{P}_4=\text{P}_1$．\\ （2）一般に，A$(\cos\alpha,\sin\alpha)$，B$(\cos\beta,\sin\beta)$ とする と， \begin{gather*} \text{AB}^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\ =2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\ =2-2\cos(\alpha-\beta)=4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \therefore\quad\text{AB}=2\Bigl|\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\Bigr| \end{gather*} 　よって，（1）より \[ \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1+\text{Q}_1\mathrm{P}_2=2|\sin\theta|+2|\sin(\theta+60^\circ)| \] $\theta\to\theta+120^\circ\to\theta+240^\circ$ として \begin{gather*} \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2+\text{Q}_2\mathrm{P}_3=2|\sin(\theta+120^\circ|+2|\sin(\theta+180^\circ)|\\ \mathrm{P}_3\mathrm{Q}_3+\text{Q}_3\mathrm{P}_4=2|\sin(\theta+240^\circ|+2|\sin(\theta+300^\circ)| \end{gather*} よって，求める長さを $L(\theta)$ とおくと， \begin{gather*} L(\theta)=2|\sin\theta|+2|\sin(\theta+60^\circ)|+2|\sin(\theta+120^\circ|+\\\hspace{3zw}+2|\sin(\theta+180^\circ)|+2|\sin(\theta+240^\circ|+2|\sin(\theta+300^\circ)|\\ =4(|\sin\theta|+|\sin(\theta+60^\circ)|+|\sin(\theta+120^\circ|) \end{gather*} $L(\theta+60^\circ)=L(\theta)$ だから，$0^\circ\leqq\theta\leqq 60^\circ$ のときを考えればよい．このとき， \begin{gather*} L(\theta)=4(\sin\theta+\sin(\theta+60^\circ)+\sin(\theta+120^\circ)\\ =4\Bigl(\sin\theta+\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta-\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\Bigr)\\ =4(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)=8\sin(\theta+60^\circ) \end{gather*} よって，求める最大値は　8\hfill$\cdots\cdots\cdots$\textgt{（答）} \bigskip \chu 最後のmaxは単位円上の3点を考えてもできる． %\betu %\chu \fi \end{document}