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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
後期理系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問3 |
学部 |
理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
|
カテゴリ |
三角関数 ・ 行列と連立一次方程式
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
平面上に60度で交わる2直線 $l$,$m$ がある.この平面上に点
$\mathrm{P}_1$ をとり,$\mathrm{P}_1$ と直線 $l$ について対称な点を
$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_1$ と直線 $m$ について対称な点を
$\mathrm{P}_2$ と定め,以下同様に点 $\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{P}_3$,
$\cdots$ を定める.
\begin{toi}
\item $\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$ となることを示せ.
\item 点 $\mathrm{P}_1$ が2直線 $l$,$m$ の交点を中心とし半径1の円周上
を動くとき,点 $\mathrm{P}_1$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{P}_2$,
$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{Q}_3$,$\mathrm{P}_4$ をこ
の順に結ぶ折れ線の長さの最大値を求めよ.
\end{toi}
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
(1)一般に,座標平
面で原点Oを通る方向角(偏角)$\alpha$ の直線に関する対称移動によって,
原点からの距離は変わらず,
偏角は $\theta\to 2\alpha-\theta$ と変化する.\\
$l$,$m$の交点を原点Oとし,$l$ を $x$ 軸としてよい.このとき,$\text{P}_1$の偏角
を$\theta$ とし,$\text{P}_1(\theta)$ とあらわすと
\[
\text{P}_1(\theta)\to\text{Q}_1(-\theta)\to\text{P}_2(120^\circ+\theta)
\]
よって,
\[
\text{P}_3(240^\circ)\text{, }\text{P}_4(360^\circ+\theta)=\text{P}_1(\theta)
\]
となり,$\text{P}_4=\text{P}_1$.\\
(2)一般に,A$(\cos\alpha,\sin\alpha)$,B$(\cos\beta,\sin\beta)$ とする
と,
\begin{gather*}
\text{AB}^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\
=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\
=2-2\cos(\alpha-\beta)=4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\therefore\quad\text{AB}=2\Bigl|\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\Bigr|
\end{gather*}
よって,(1)より
\[
\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1+\text{Q}_1\mathrm{P}_2=2|\sin\theta|+2|\sin(\theta+60^\circ)|
\]
$\theta\to\theta+120^\circ\to\theta+240^\circ$ として
\begin{gather*}
\mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2+\text{Q}_2\mathrm{P}_3=2|\sin(\theta+120^\circ|+2|\sin(\theta+180^\circ)|\\
\mathrm{P}_3\mathrm{Q}_3+\text{Q}_3\mathrm{P}_4=2|\sin(\theta+240^\circ|+2|\sin(\theta+300^\circ)|
\end{gather*}
よって,求める長さを $L(\theta)$ とおくと,
\begin{gather*}
L(\theta)=2|\sin\theta|+2|\sin(\theta+60^\circ)|+2|\sin(\theta+120^\circ|+\\\hspace{3zw}+2|\sin(\theta+180^\circ)|+2|\sin(\theta+240^\circ|+2|\sin(\theta+300^\circ)|\\
=4(|\sin\theta|+|\sin(\theta+60^\circ)|+|\sin(\theta+120^\circ|)
\end{gather*}
$L(\theta+60^\circ)=L(\theta)$ だから,$0^\circ\leqq\theta\leqq 60^\circ$
のときを考えればよい.このとき,
\begin{gather*}
L(\theta)=4(\sin\theta+\sin(\theta+60^\circ)+\sin(\theta+120^\circ)\\
=4\Bigl(\sin\theta+\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta-\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\Bigr)\\
=4(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)=8\sin(\theta+60^\circ)
\end{gather*}
よって,求める最大値は 8\hfill$\cdots\cdots\cdots$\textgt{(答)}
\bigskip
\chu
最後のmaxは単位円上の3点を考えてもできる.
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}