解答を見る
解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
後期理系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問2 |
学部 |
理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
|
カテゴリ |
数と式
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$m$,$n$ は自然数で,$m<n$ をみたすものとする.$m^n+1$,$n^m+1$ がともに $10$ の倍数となる $m$,$n$ を 1 組与えよ.
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
mod $10$ の合同式を考える.\\
$m^n+1\equiv 0$ すなわち $m^n\equiv 9$ となる $m$,$n$ を決定する.
まず,$m$ は偶数ではありえず,$m\;\Not\equiv\;1, 5$ だから $m\equiv 3, 7, 9$
・$m\equiv 3$ のとき,$m^n\equiv 3^n$
\hspace{4zw}
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
$n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$3$ &$4$ &$\cdots$ \\\hline
$3^n\bmod 10$ &$1$ &$3$ &$9$ &$7$ &$1$ &$\cdots$
\end{tabular}
\[
\therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は $4$ で割って $2$ 余る}
\]
・$m\equiv 7$ のとき,$m^n\equiv 7^n$
\hspace{4zw}
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
$n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$3$ &$4$ &$\cdots$ \\\hline
$7^n\bmod 10$ &$1$ &$7$ &$9$ &$3$ &$1$ &$\cdots$
\end{tabular}
\[
\therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は $4$ で割って $2$ 余る}
\]
・$m\equiv 9$ のとき,$m^n\equiv 9^n\equiv (-1)^n$
\hspace{4zw}
\begin{tabular}{c||c|c|c|c}
$n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$\cdots$ \\\hline
$9^n\bmod 10$ &$1$ &$9$ &$1$ &$\cdots$
\end{tabular}
\[
\therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は奇数}
\]
以上から,$m^n+1\equiv 0$ かつ $n^m+1\equiv 0$ となるのは,$m$ と $n$
をいれかえても同じことが成り立つ場合だから,$m\equiv 9$,$n\equiv 9$ の
ときである.そのような $m$,$n$($m<n$) を1組求めると
$\boldsymbol{m=9\text{, }n=19}$\qed\\
\medskip
\chu $n$ が奇数のとき
\[
m^n+1=(m+1)(m^{n-1}-m^{n-2}+\cdots-m+1)
\]
から,求めてもよい.
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}