京都大学 後期理系 1996年度 問2

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期理系
年度 1996年度
問No 問2
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 数と式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $m$,$n$ は自然数で,$m<n$ をみたすものとする.$m^n+1$,$n^m+1$ がともに $10$ の倍数となる $m$,$n$ を 1 組与えよ. \end{FRAME} \iffalse %kai  mod $10$ の合同式を考える.\\ $m^n+1\equiv 0$ すなわち $m^n\equiv 9$ となる $m$,$n$ を決定する. まず,$m$ は偶数ではありえず,$m\;\Not\equiv\;1, 5$ だから $m\equiv 3, 7, 9$ ・$m\equiv 3$ のとき,$m^n\equiv 3^n$ \hspace{4zw} \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c} $n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$3$ &$4$ &$\cdots$ \\\hline $3^n\bmod 10$ &$1$ &$3$ &$9$ &$7$ &$1$ &$\cdots$ \end{tabular} \[ \therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は $4$ で割って $2$ 余る} \] ・$m\equiv 7$ のとき,$m^n\equiv 7^n$ \hspace{4zw} \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c} $n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$3$ &$4$ &$\cdots$ \\\hline $7^n\bmod 10$ &$1$ &$7$ &$9$ &$3$ &$1$ &$\cdots$ \end{tabular} \[ \therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は $4$ で割って $2$ 余る} \] ・$m\equiv 9$ のとき,$m^n\equiv 9^n\equiv (-1)^n$ \hspace{4zw} \begin{tabular}{c||c|c|c|c} $n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$\cdots$ \\\hline $9^n\bmod 10$ &$1$ &$9$ &$1$ &$\cdots$ \end{tabular} \[ \therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は奇数} \]  以上から,$m^n+1\equiv 0$ かつ $n^m+1\equiv 0$ となるのは,$m$ と $n$ をいれかえても同じことが成り立つ場合だから,$m\equiv 9$,$n\equiv 9$ の ときである.そのような $m$,$n$($m<n$) を1組求めると $\boldsymbol{m=9\text{, }n=19}$\qed\\ \medskip \chu $n$ が奇数のとき \[ m^n+1=(m+1)(m^{n-1}-m^{n-2}+\cdots-m+1) \] から,求めてもよい. %\betu %\chu \fi \end{document}