すうじあむ

(0件)  

コメントはまだありません。

\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $m$，$n$ は自然数で，$m<n$ をみたすものとする．$m^n+1$，$n^m+1$ がともに $10$ の倍数となる $m$，$n$ を 1 組与えよ． \end{FRAME} \iffalse %kai 　mod $10$ の合同式を考える．\\ $m^n+1\equiv 0$ すなわち $m^n\equiv 9$ となる $m$，$n$ を決定する． まず，$m$ は偶数ではありえず，$m\;\Not\equiv\;1, 5$ だから $m\equiv 3, 7, 9$ ・$m\equiv 3$ のとき，$m^n\equiv 3^n$ \hspace{4zw} \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c} $n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$3$ &$4$ &$\cdots$ \\\hline $3^n\bmod 10$ &$1$ &$3$ &$9$ &$7$ &$1$ &$\cdots$ \end{tabular} \[ \therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は $4$ で割って $2$ 余る} \] ・$m\equiv 7$ のとき，$m^n\equiv 7^n$ \hspace{4zw} \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c} $n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$3$ &$4$ &$\cdots$ \\\hline $7^n\bmod 10$ &$1$ &$7$ &$9$ &$3$ &$1$ &$\cdots$ \end{tabular} \[ \therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は $4$ で割って $2$ 余る} \] ・$m\equiv 9$ のとき，$m^n\equiv 9^n\equiv (-1)^n$ \hspace{4zw} \begin{tabular}{c||c|c|c|c} $n$ &$0$ &$1$ &$2$ &$\cdots$ \\\hline $9^n\bmod 10$ &$1$ &$9$ &$1$ &$\cdots$ \end{tabular} \[ \therefore\quad m^n\equiv 9\iff n\text{ は奇数} \] 　以上から，$m^n+1\equiv 0$ かつ $n^m+1\equiv 0$ となるのは，$m$ と $n$ をいれかえても同じことが成り立つ場合だから，$m\equiv 9$，$n\equiv 9$ の ときである．そのような $m$，$n$（$m<n$） を1組求めると $\boldsymbol{m=9\text{， }n=19}$\qed\\ \medskip \chu $n$ が奇数のとき \[ m^n+1=(m+1)(m^{n-1}-m^{n-2}+\cdots-m+1) \] から，求めてもよい． %\betu %\chu \fi \end{document}