京都大学 後期理系 1996年度 問1

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期理系
年度 1996年度
問No 問1
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 三角関数 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $n$ は自然数とする. \begin{toi} \item すべての実数 $\theta$ に対し\\ \hspace*{4zw}$\cos n\theta=f_{n}(\cos \theta)$,$\sin n\theta=g_{n}(\cos \theta)\sin \theta $\\ をみたし,係数がともにすべて整数である $n$ 次式 $f_{n}(x)$ と $n-1$ 次式 $g_{n}(x)$ が存在することを示せ. \item ${f_{n}}'(x)=n g_{n}(x)$ であることを示せ. \item $p$ を $3$ 以上の素数とするとき,$f_{p}(x)$ の $p-1$ 次以下の係数はすべて $p$ で割り切れることを示せ. \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \kakko{1} 題意の命題に「$f_n(x)$,$g_n(x)$ の最高次の係数は $2^{n-1}$ であ る」を付け加えた命題を $n$ についての帰納法で示す.\\ I.$f_1(x)=x$,$g_1(x)=1$ とすれば $n=1$ のとき成り立つ.\\ II.$n=k$ のとき成り立つとする. \begin{gather*} \cos(k+1)\theta=\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta\\ \sin(k+1)\theta=\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta \end{gather*} により \begin{gather*} f_{k+1}(x)=xf_k(x)-g_k(x)(1-x^2)\\ g_{k+1}(x)=xg_k(x)+f_k(x) \end{gather*} とおけば, \[\cos (k+1)\theta=f_{k+1}(\cos \theta)\text{, }\sin(k+1)\theta=g_{k+1}(\cos\theta)\sin \theta \] が成り立ち, $f_{k+1}(x)$,$g_{k+1}(x)$ はそれぞれ $k+1$ 次以下,$k$ 次以下で最高次の 係数は $2^{k-1}+2^{k-1}=2^k$ だから, $n=k+1$ のときも命題は成り立つ. \kakko{2} $f_n(\cos\theta)=\cos n\theta$ の両辺を $\theta$ で微分すると \[ {f_n}'(\cos\theta)(-\sin\theta)=-n\sin n\theta=-ng_n(\cos\theta)\sin\theta \] よって,$x=\cos\theta\;(0<\theta<\pi)$ とおけば,$-1<x<1$ をみた すすべての $x$ について ${f_n}'(x)=ng_n(x)$ がなりたつ.この両辺は $n-1$ 次だからこれは恒 等式となり題意が成り立つ. \kakko{3} $f_p(x)=\dsum_{k=0}^{p}a_k x^k$,$g_p(x)=\dsum_{k=0}^{p-1}b_k x^k$とおく.(2)により \begin{gather*} pa_p x^{p-1}+\cdots+ka_k x^{k-1}+\cdots+a_1\\ =p(b_px^{p-1}+\cdots+b_{k-1}x^{k-1}+\cdots+b_0) \end{gather*} 両辺の係数を比較すると,$k=1$,$2$,$\cdots$,$p-1$ について $k a_k=p b_{k-1}$.$k$,$p$ は互いに素だから,$a_k$ は $p$ で割り切れる.\\ また,$p$ は奇素数だから $a_0=f_p(0)=f_p(\cos\pi/2)=\cos p\pi/2=0$ とな り,$a_{p-1}$,$a_{p-2}$,$\cdots$,$a_{0}$ はすべて $p$ で割り切 れる.\qed %\betu %\chu \fi \end{document}