すうじあむ

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $n$ は自然数とする． \begin{toi} \item すべての実数 $\theta$ に対し\\ \hspace*{4zw}$\cos n\theta=f_{n}(\cos \theta)$，$\sin n\theta=g_{n}(\cos \theta)\sin \theta $\\ をみたし，係数がともにすべて整数である $n$ 次式 $f_{n}(x)$ と $n-1$ 次式 $g_{n}(x)$ が存在することを示せ． \item ${f_{n}}'(x)=n g_{n}(x)$ であることを示せ． \item $p$ を $3$ 以上の素数とするとき，$f_{p}(x)$ の $p-1$ 次以下の係数はすべて $p$ で割り切れることを示せ． \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \kakko{1} 題意の命題に「$f_n(x)$，$g_n(x)$ の最高次の係数は $2^{n-1}$ であ る」を付け加えた命題を $n$ についての帰納法で示す．\\ I．$f_1(x)=x$，$g_1(x)=1$ とすれば $n=1$ のとき成り立つ．\\ II．$n=k$ のとき成り立つとする． \begin{gather*} \cos(k+1)\theta=\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta\\ \sin(k+1)\theta=\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta \end{gather*} により \begin{gather*} f_{k+1}(x)=xf_k(x)-g_k(x)(1-x^2)\\ g_{k+1}(x)=xg_k(x)+f_k(x) \end{gather*} とおけば， \[\cos (k+1)\theta=f_{k+1}(\cos \theta)\text{， }\sin(k+1)\theta=g_{k+1}(\cos\theta)\sin \theta \] が成り立ち， $f_{k+1}(x)$，$g_{k+1}(x)$ はそれぞれ $k+1$ 次以下，$k$ 次以下で最高次の 係数は $2^{k-1}+2^{k-1}=2^k$ だから， $n=k+1$ のときも命題は成り立つ． \kakko{2} $f_n(\cos\theta)=\cos n\theta$ の両辺を $\theta$ で微分すると \[ {f_n}'(\cos\theta)(-\sin\theta)=-n\sin n\theta=-ng_n(\cos\theta)\sin\theta \] よって，$x=\cos\theta\;(0<\theta<\pi)$ とおけば，$-1<x<1$ をみた すすべての $x$ について ${f_n}'(x)=ng_n(x)$ がなりたつ．この両辺は $n-1$ 次だからこれは恒 等式となり題意が成り立つ． \kakko{3} $f_p(x)=\dsum_{k=0}^{p}a_k x^k$，$g_p(x)=\dsum_{k=0}^{p-1}b_k x^k$とおく．(2)により \begin{gather*} pa_p x^{p-1}+\cdots+ka_k x^{k-1}+\cdots+a_1\\ =p(b_px^{p-1}+\cdots+b_{k-1}x^{k-1}+\cdots+b_0) \end{gather*} 両辺の係数を比較すると，$k=1$，$2$，$\cdots$，$p-1$ について $k a_k=p b_{k-1}$．$k$，$p$ は互いに素だから，$a_k$ は $p$ で割り切れる．\\ また，$p$ は奇素数だから $a_0=f_p(0)=f_p(\cos\pi/2)=\cos p\pi/2=0$ とな り，$a_{p-1}$，$a_{p-2}$，$\cdots$，$a_{0}$ はすべて $p$ で割り切 れる．\qed %\betu %\chu \fi \end{document}