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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
後期理系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
|
カテゴリ |
三角関数 ・ 微分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$n$ は自然数とする.
\begin{toi}
\item すべての実数 $\theta$ に対し\\
\hspace*{4zw}$\cos n\theta=f_{n}(\cos \theta)$,$\sin n\theta=g_{n}(\cos
\theta)\sin \theta $\\
をみたし,係数がともにすべて整数である $n$ 次式 $f_{n}(x)$ と $n-1$ 次式 $g_{n}(x)$ が存在することを示せ.
\item ${f_{n}}'(x)=n g_{n}(x)$ であることを示せ.
\item $p$ を $3$ 以上の素数とするとき,$f_{p}(x)$ の $p-1$ 次以下の係数はすべて $p$ で割り切れることを示せ.
\end{toi}
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\kakko{1}
題意の命題に「$f_n(x)$,$g_n(x)$ の最高次の係数は $2^{n-1}$ であ
る」を付け加えた命題を $n$ についての帰納法で示す.\\
I.$f_1(x)=x$,$g_1(x)=1$ とすれば $n=1$ のとき成り立つ.\\
II.$n=k$ のとき成り立つとする.
\begin{gather*}
\cos(k+1)\theta=\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta\\
\sin(k+1)\theta=\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta
\end{gather*}
により
\begin{gather*}
f_{k+1}(x)=xf_k(x)-g_k(x)(1-x^2)\\
g_{k+1}(x)=xg_k(x)+f_k(x)
\end{gather*}
とおけば,
\[\cos (k+1)\theta=f_{k+1}(\cos \theta)\text{, }\sin(k+1)\theta=g_{k+1}(\cos\theta)\sin \theta
\]
が成り立ち,
$f_{k+1}(x)$,$g_{k+1}(x)$ はそれぞれ $k+1$ 次以下,$k$ 次以下で最高次の
係数は $2^{k-1}+2^{k-1}=2^k$ だから,
$n=k+1$ のときも命題は成り立つ.
\kakko{2}
$f_n(\cos\theta)=\cos n\theta$ の両辺を $\theta$ で微分すると
\[
{f_n}'(\cos\theta)(-\sin\theta)=-n\sin n\theta=-ng_n(\cos\theta)\sin\theta
\]
よって,$x=\cos\theta\;(0<\theta<\pi)$ とおけば,$-1<x<1$ をみた
すすべての $x$ について
${f_n}'(x)=ng_n(x)$ がなりたつ.この両辺は $n-1$ 次だからこれは恒
等式となり題意が成り立つ.
\kakko{3} $f_p(x)=\dsum_{k=0}^{p}a_k x^k$,$g_p(x)=\dsum_{k=0}^{p-1}b_k x^k$とおく.(2)により
\begin{gather*}
pa_p x^{p-1}+\cdots+ka_k x^{k-1}+\cdots+a_1\\
=p(b_px^{p-1}+\cdots+b_{k-1}x^{k-1}+\cdots+b_0)
\end{gather*}
両辺の係数を比較すると,$k=1$,$2$,$\cdots$,$p-1$ について $k a_k=p b_{k-1}$.$k$,$p$ は互いに素だから,$a_k$ は $p$ で割り切れる.\\
また,$p$ は奇素数だから $a_0=f_p(0)=f_p(\cos\pi/2)=\cos p\pi/2=0$ とな
り,$a_{p-1}$,$a_{p-2}$,$\cdots$,$a_{0}$ はすべて $p$ で割り切
れる.\qed
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}