京都大学 前期文系 1996年度 問5

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期文系
年度 1996年度
問No 問5
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 点Oを中心とする円周の6等分点を$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\cdots$, $\mathrm{P}_6$ とする.サイコロを3回振り,出た目が順に $i$,$j$,$k$ の ときの得点を次のように定める. $i$,$j$,$k$ の中に同じものがあれば 0 点 とする. $i$,$j$,$k$ がすべて異なるときは,円の中心Oが三角形 % $\bigtriangleup\mathrm{P}_i\mathrm{P}_j\mathrm{P}_k$ の内部にあれば 3 % 点,辺上にあれば 2 点,外部にあれば 1 点とする.得点の期待値を求めよ. \end{FRAME} \iffalse %kai \quad サイコロの目の出かたは全部で$6^3$通りある.このうち,正の得点が得られる のは,3頂点で3角形ができるときである.3角形の形で分類し,そのときの得点 と3角形の個数は次のようになる. \medskip \parbox{(\textwidth-2zw)/3}{ \baai{1} 1点で$6$通り.\\ \input{96zl5fig1}} \quad \parbox{(\textwidth-2zw)/3}{ \baai{2} 2点で$4\cdot3=12$通り.\\ \input{96zl5fig2}} \quad \parbox{(\textwidth-2zw)/3}{ \baai{3} 3点で2通り.\\ \input{96zl5fig3}} \medskip また,上のそれぞれの3角形について,サイコロの目は$3!$通りずつあるので, 求める期待値は \[ 1\cdot\frac{6\cdot3!}{6^3}+2\cdot\frac{12\cdot3!}{6^3}+3\cdot\frac{2\cdot3!}{6^3}=\ans{1} \] \bigskip \betu $i=1$と仮定してよい.このとき,$(j,\ k)$は$6^2$通りある.$j=1$または $k=1$または$j=k$のときは0点で,\\ $2\leqq j<k$のとき,図をかくと \begin{center} \begin{tabular}{c|cccccccccc} $j$ &2 &2 &2 &2 &3 &3 &3 &4 &4 &5 \\\hline $k$ &3 &4 &5 &6 &4 &5 &6 &5 &6 &6 \\\hline 得点 &1 &2 &2 &1 &2 &3 &2 &2 &2 &1 \end{tabular} \end{center} $2\leqq k<j$のときも同様. 以上から,求める期待値は \[ \frac{(1\cdot 3+2\cdot 6+3\cdot 1)\times 2}{6^2}=\ans{1} \] %\betu %\chu \fi \end{document}