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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問5 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
確率
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
点Oを中心とする円周の6等分点を$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\cdots$,
$\mathrm{P}_6$ とする.サイコロを3回振り,出た目が順に $i$,$j$,$k$ の
ときの得点を次のように定める. $i$,$j$,$k$ の中に同じものがあれば 0 点
とする. $i$,$j$,$k$ がすべて異なるときは,円の中心Oが三角形 %
$\bigtriangleup\mathrm{P}_i\mathrm{P}_j\mathrm{P}_k$ の内部にあれば 3 %
点,辺上にあれば 2 点,外部にあれば 1 点とする.得点の期待値を求めよ.
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\quad
サイコロの目の出かたは全部で$6^3$通りある.このうち,正の得点が得られる
のは,3頂点で3角形ができるときである.3角形の形で分類し,そのときの得点
と3角形の個数は次のようになる.
\medskip
\parbox{(\textwidth-2zw)/3}{
\baai{1} 1点で$6$通り.\\
\input{96zl5fig1}}
\quad
\parbox{(\textwidth-2zw)/3}{
\baai{2} 2点で$4\cdot3=12$通り.\\
\input{96zl5fig2}}
\quad
\parbox{(\textwidth-2zw)/3}{
\baai{3} 3点で2通り.\\
\input{96zl5fig3}}
\medskip
また,上のそれぞれの3角形について,サイコロの目は$3!$通りずつあるので,
求める期待値は
\[
1\cdot\frac{6\cdot3!}{6^3}+2\cdot\frac{12\cdot3!}{6^3}+3\cdot\frac{2\cdot3!}{6^3}=\ans{1}
\]
\bigskip
\betu
$i=1$と仮定してよい.このとき,$(j,\ k)$は$6^2$通りある.$j=1$または
$k=1$または$j=k$のときは0点で,\\
$2\leqq j<k$のとき,図をかくと
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccccccccc}
$j$ &2 &2 &2 &2 &3 &3 &3 &4 &4 &5 \\\hline
$k$ &3 &4 &5 &6 &4 &5 &6 &5 &6 &6 \\\hline
得点 &1 &2 &2 &1 &2 &3 &2 &2 &2 &1
\end{tabular}
\end{center}
$2\leqq k<j$のときも同様.
以上から,求める期待値は
\[
\frac{(1\cdot 3+2\cdot 6+3\cdot 1)\times 2}{6^2}=\ans{1}
\]
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}