京都大学 前期文系 1996年度 問4

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期文系
年度 1996年度
問No 問4
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 正の実数 $a$ に対し,実数全体で定義される関数 $g(x)$ を $g(x)=\dint_{-2}^{2}|x-t|(t^2-a^2)\,dt$ で定める.このとき,$g(x)$ が最 小値を持つような $a$ の範囲を求めよ.また $a$ がそのような範囲にあるとき, $g(x)$ の最小値を $a$ を用いて表せ. \end{FRAME} \iffalse %kai \ajKakkoroman{1}\ $x\geqq2$のとき, \begin{align*} g(x)&=\int_{-2}^2(x-t)(t^2-a^2)\,dt\\ &=2\int_{0}^2x(t^2-a^2)\,dt=2\Bigl[x\cdot\Frac{t^3}{3}-a^2xt\Bigr]_0^2\\ &=4\Bigl(\Frac{4}{3}-a^2\Bigr)x \end{align*} \ajKakkoroman{2}\ $-2\leqq x\leqq2$のとき, \begin{align*} &g(x)=\int_{-2}^x(x-t)(t^2-a^2)\,dt+\int_{x}^2(t-x)(t^2-a^2)\,dt\\ &=\int_x^{-2}(t^3-xt^2-a^2t+a^2x)\,dt+\int_{x}^2(t^3-xt^2-a^2t+a^2x)\,dt\\ &=\Bigl[\Frac{1}{4}t^4-\Frac{1}{3}xt^3-\Frac{1}{2}a^2t^2+a^2xt\Bigr]_{x}^{-2}\\ &\qquad+\Bigl[\Frac{1}{4}t^4-\Frac{1}{3}xt^3-\Frac{1}{2}a^2t^2+a^2xt\Bigr]_{x}^{2}\\ &=(8-4a^2)-2\Bigl(-\Frac{1}{12}x^3+\Frac{1}{2}a^2x^2\Bigr)\\ &=\Frac{1}{6}x^4-a^2x^2-4a^2+8 \end{align*} \ajKakkoroman{3}\ $x\leqq-2$のとき, \begin{align*} g(x)&=\int_{-2}^2(t-x)(t^2-a^2)\,dt=-\int_{-2}^2(x-t)(t^2-a^2)\,dt\\ &=4\Bigl(a^2-\Frac{4}{3}\Bigr)x \end{align*} $g(x)$は$-2\leqq x\leqq 2$では$x$の4次関数で最小値をもち, $x\geqq2$または$x\leqq-2$のときは$g(x)$が1次または定数関数(グラフは直線)だから, $g(x)$が全 体として最小値をもつための条件は,$x\geqq2$で直線の傾きが0以上, $x\leqq-2$で直線の傾きが0以下であることで, \[ \Frac{4}{3}-a^2\geqq0 \yuen \ans{0<a\leqq\Frac{2}{\sqrt{3}}} \] このとき,$x\geqq2$では$g(x)$は定数か増加で,$x\leqq-2$では$g(x)$は定数 か減少である.$-2\leqq x\leqq2$では \[ g(x)=\Frac{1}{6}(x^2-3a^2)^2-\Frac{3}{2}a^4-4a^2+8 \] であり,$x^2$の範囲は$0\leqq x^2\leqq4$で, $0<3a^2\leqq\leqq4$だから,$x^2=3a^2$のとき最小値をとる.ゆえに,求める 最小値は \[ \ans{-\Frac{3}{2}a^4-4a^2+8} \] %\betu %\chu \fi \end{document}