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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問4 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
積分法の応用
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
正の実数 $a$ に対し,実数全体で定義される関数 $g(x)$ を
$g(x)=\dint_{-2}^{2}|x-t|(t^2-a^2)\,dt$ で定める.このとき,$g(x)$ が最
小値を持つような $a$ の範囲を求めよ.また $a$ がそのような範囲にあるとき,
$g(x)$ の最小値を $a$ を用いて表せ.
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\ajKakkoroman{1}\ $x\geqq2$のとき,
\begin{align*}
g(x)&=\int_{-2}^2(x-t)(t^2-a^2)\,dt\\
&=2\int_{0}^2x(t^2-a^2)\,dt=2\Bigl[x\cdot\Frac{t^3}{3}-a^2xt\Bigr]_0^2\\
&=4\Bigl(\Frac{4}{3}-a^2\Bigr)x
\end{align*}
\ajKakkoroman{2}\ $-2\leqq x\leqq2$のとき,
\begin{align*}
&g(x)=\int_{-2}^x(x-t)(t^2-a^2)\,dt+\int_{x}^2(t-x)(t^2-a^2)\,dt\\
&=\int_x^{-2}(t^3-xt^2-a^2t+a^2x)\,dt+\int_{x}^2(t^3-xt^2-a^2t+a^2x)\,dt\\
&=\Bigl[\Frac{1}{4}t^4-\Frac{1}{3}xt^3-\Frac{1}{2}a^2t^2+a^2xt\Bigr]_{x}^{-2}\\
&\qquad+\Bigl[\Frac{1}{4}t^4-\Frac{1}{3}xt^3-\Frac{1}{2}a^2t^2+a^2xt\Bigr]_{x}^{2}\\
&=(8-4a^2)-2\Bigl(-\Frac{1}{12}x^3+\Frac{1}{2}a^2x^2\Bigr)\\
&=\Frac{1}{6}x^4-a^2x^2-4a^2+8
\end{align*}
\ajKakkoroman{3}\ $x\leqq-2$のとき,
\begin{align*}
g(x)&=\int_{-2}^2(t-x)(t^2-a^2)\,dt=-\int_{-2}^2(x-t)(t^2-a^2)\,dt\\
&=4\Bigl(a^2-\Frac{4}{3}\Bigr)x
\end{align*}
$g(x)$は$-2\leqq x\leqq 2$では$x$の4次関数で最小値をもち,
$x\geqq2$または$x\leqq-2$のときは$g(x)$が1次または定数関数(グラフは直線)だから,
$g(x)$が全
体として最小値をもつための条件は,$x\geqq2$で直線の傾きが0以上,
$x\leqq-2$で直線の傾きが0以下であることで,
\[
\Frac{4}{3}-a^2\geqq0 \yuen \ans{0<a\leqq\Frac{2}{\sqrt{3}}}
\]
このとき,$x\geqq2$では$g(x)$は定数か増加で,$x\leqq-2$では$g(x)$は定数
か減少である.$-2\leqq x\leqq2$では
\[
g(x)=\Frac{1}{6}(x^2-3a^2)^2-\Frac{3}{2}a^4-4a^2+8
\]
であり,$x^2$の範囲は$0\leqq x^2\leqq4$で,
$0<3a^2\leqq\leqq4$だから,$x^2=3a^2$のとき最小値をとる.ゆえに,求める
最小値は
\[
\ans{-\Frac{3}{2}a^4-4a^2+8}
\]
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}