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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問3 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
行列と連立一次方程式
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
各成分が 0 以上の整数である行列 $A$ で,$A^3=A$ をみたすものをすべて求
めよ.
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\quad $A=\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}$,$s=a+d$,$t=ad-bc$ とおくと
\[
A^2=sA-tE
\]
が成り立つから,
\[
A^3=sA^2-tA=s(sA-tE)-tA=(s^2-t)A-stE
\]
したがって,$A^3=A$ により
\[
(s^2-t-1)A=stE
\]
・$s^2-t-1\Noteq 0$ のとき,$A=kE$($k$ は実数) とあらわせ,$A^3=A$ に
より $k^3E=kE$ から $k^3=k\quad\therefore\quad k=0,\, 1$ $\yuen A=O\ten
E$\\
・$s^2-t-1=0$ のとき,$st=0$だから,$s=0$または$t=0$.\\
\baai{1}\ $s=0$のとき,$(s,t)=(0,-1)$すなわち $a+d=0$,
$ad-bc=-1$であり,これらをみたす0以上の整数は$a=d=0$, $(b,c)=(1,1)$\\
\baai{2}\ $t=0$のとき,$s=\pm1$すなわち
$(s,t)=(\pm 1,0)$であり,$s=a+d\geqq0$だから$a+d=1$,$ad-bc=0$.よって,$(a,d)=(1,0)$,
$(0,1)$,$(b,c)=(k,0)$,$(0,k)$ \\
以上から,
{\boldmath
\begin{equation}
%\left.
\begin{array}{l}
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}\text{, }\smallskip
\begin{pmatrix}
1 &0 \\0 &1
\end{pmatrix}\text{, }\smallskip
\begin{pmatrix}
0 &1 \\ 1 &0
\end{pmatrix}\text{, }\smallskip
\begin{pmatrix}
1 &k \\0 &0
\end{pmatrix}\smallskip\\
\phantom{A=}\begin{pmatrix}
1 & 0\\ k &0
\end{pmatrix}\text{, }
\begin{pmatrix}
0 &k \\ 0 &1
\end{pmatrix}\text{, }
\begin{pmatrix}
0 &0 \\ k & 1
\end{pmatrix}\quad\text{($k$ \textgt{は$0$以上の整数})}
\end{array}
%\right\}
\notag
%\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\textgt{(答)}}
\end{equation}
}
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}