京都大学 前期文系 1996年度 問3

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期文系
年度 1996年度
問No 問3
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 各成分が 0 以上の整数である行列 $A$ で,$A^3=A$ をみたすものをすべて求 めよ. \end{FRAME} \iffalse %kai \quad $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$,$s=a+d$,$t=ad-bc$ とおくと \[ A^2=sA-tE \] が成り立つから, \[ A^3=sA^2-tA=s(sA-tE)-tA=(s^2-t)A-stE \] したがって,$A^3=A$ により \[ (s^2-t-1)A=stE \] ・$s^2-t-1\Noteq 0$ のとき,$A=kE$($k$ は実数) とあらわせ,$A^3=A$ に より $k^3E=kE$ から $k^3=k\quad\therefore\quad k=0,\, 1$ $\yuen A=O\ten E$\\ ・$s^2-t-1=0$ のとき,$st=0$だから,$s=0$または$t=0$.\\ \baai{1}\ $s=0$のとき,$(s,t)=(0,-1)$すなわち $a+d=0$, $ad-bc=-1$であり,これらをみたす0以上の整数は$a=d=0$, $(b,c)=(1,1)$\\ \baai{2}\ $t=0$のとき,$s=\pm1$すなわち $(s,t)=(\pm 1,0)$であり,$s=a+d\geqq0$だから$a+d=1$,$ad-bc=0$.よって,$(a,d)=(1,0)$, $(0,1)$,$(b,c)=(k,0)$,$(0,k)$ \\ 以上から, {\boldmath \begin{equation} %\left. \begin{array}{l} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{, }\smallskip \begin{pmatrix} 1 &0 \\0 &1 \end{pmatrix}\text{, }\smallskip \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}\text{, }\smallskip \begin{pmatrix} 1 &k \\0 &0 \end{pmatrix}\smallskip\\ \phantom{A=}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ k &0 \end{pmatrix}\text{, } \begin{pmatrix} 0 &k \\ 0 &1 \end{pmatrix}\text{, } \begin{pmatrix} 0 &0 \\ k & 1 \end{pmatrix}\quad\text{($k$ \textgt{は$0$以上の整数})} \end{array} %\right\} \notag %\tag*{$\cdots\cdots\cdots$\textgt{(答)}} \end{equation} } %\betu %\chu \fi \end{document}