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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問2 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
数列
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$0<a\leqq b$ をみたす実数 $a$,$b$ に対し,数列 $\{a_n\}$,$\{b_n\}$ %
を $a_1=a$,$b_1=b$,$a_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}$,%
$b_n=\dfrac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}\quad (n\geqq 2)$ によって定める.
\begin{toi}
\item すべての自然数 $n$ に対し,
$a_n\leqq a_{n+1}\leqq b_{n+1}\leqq b_{n}$ が成り立つことを示せ.
\item すべての自然数 $n$ に対し,$b_{n+1}-a_{n+1}\leqq \dfrac{1}{8a_n}(b_n-a_n)^2$ が成り立つことを示せ.
\item $a=100$,$b=900$ のとき,$b_n-a_n<4$ をみたす最小の $n$ を求めよ.
\end{toi}
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\kakko{1}\
漸化式と$0<a\leqq b$により,すべての$n$に対し$a_n>0,\ b_n>0$が成り立つ.
したがって,相加平均と相乗平均の関係から
\[
a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\leqq\frac{a_n+b_n}{2}=b_{n+1}
\]
と,$a=a_1\leqq b_1=b$とあわせて,すべての$n$に対し,$a_n\leqq b_n$が成
り立つ.したがって,
\[
a_n=\sqrt{a_n{}^2}\leqq \sqrt{a_nb_n}=a_{n+1},\quad
b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leqq b_n
\]
が成り立ち,$a_n\leqq a_{n+1}\leqq b_{n+1}\leqq b_{n}$
\smallskip
\kakko{2}\
漸化式から
\[
b_{n+1}-a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}\,\right)^2
\]
\[
\begin{split}
&\frac{1}{8a_n}\left(b_n-a_n\right)^2=\frac{1}{8a_n}\left(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}\,\right)^2\left(\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}\,\right)^2\\
&=\frac{1}{4a_n}\left(\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}\,\right)^2(b_{n+1}-a_{n+1})\\
&\geqq\frac{1}{4a_n}\left(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_n}\,\right)^2(b_{n+1}-a_{n+1})
\qquad(\because\enskip\kakko{1})\\
&=b_{n+1}-a_{n+1}
\end{split}\]
\kakko{3}\
\[
\begin{array}{c||c|c|c|c}
n\rule[-.6zh]{0pt}{2zh}&1 &2 &3 &4 \\\hline
a_n\rule[-.6zh]{0pt}{2zh}& 100&300 &100\sqrt{15} &200\sqrt[4]{15} \\ \hline
b_n\rule[-.6zh]{0pt}{2zh}&900 &500 &400 & 50\sqrt{15}+200\\ \hline
b_n-a_n\rule[-.6zh]{0pt}{2zh}&800 &200 &100\left(4-\sqrt{15}\right) &?
\end{array}
\]
ここで,$3.8^2=14.44<15<3.9^2=15.21$だから$3.8<\sqrt{15}<3.9$となり
\[
100(4-3.9)<b_3-a_3<100(4-3.8)\yueni 10<b_3-a_3<20
\]
そこで,$n=3$について\kakko{2}の結果を用いると
\[
b_4-a_4\leqq\frac{1}{8a_3}\left(b_3-a_3\right)^2<\frac{20^2}{8\cdot100\sqrt{15}}=\frac{1}{2\sqrt{15}}<4
\]
となり,求める$n$は$n=\ans{4}$
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}