京都大学 前期文系 1996年度 問2

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期文系
年度 1996年度
問No 問2
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $0<a\leqq b$ をみたす実数 $a$,$b$ に対し,数列 $\{a_n\}$,$\{b_n\}$ % を $a_1=a$,$b_1=b$,$a_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}$,% $b_n=\dfrac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}\quad (n\geqq 2)$ によって定める. \begin{toi} \item すべての自然数 $n$ に対し, $a_n\leqq a_{n+1}\leqq b_{n+1}\leqq b_{n}$ が成り立つことを示せ. \item すべての自然数 $n$ に対し,$b_{n+1}-a_{n+1}\leqq \dfrac{1}{8a_n}(b_n-a_n)^2$ が成り立つことを示せ. \item $a=100$,$b=900$ のとき,$b_n-a_n<4$ をみたす最小の $n$ を求めよ. \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \kakko{1}\ 漸化式と$0<a\leqq b$により,すべての$n$に対し$a_n>0,\ b_n>0$が成り立つ. したがって,相加平均と相乗平均の関係から \[ a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\leqq\frac{a_n+b_n}{2}=b_{n+1} \] と,$a=a_1\leqq b_1=b$とあわせて,すべての$n$に対し,$a_n\leqq b_n$が成 り立つ.したがって, \[ a_n=\sqrt{a_n{}^2}\leqq \sqrt{a_nb_n}=a_{n+1},\quad b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leqq b_n \] が成り立ち,$a_n\leqq a_{n+1}\leqq b_{n+1}\leqq b_{n}$ \smallskip \kakko{2}\ 漸化式から \[ b_{n+1}-a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}\,\right)^2 \] \[ \begin{split} &\frac{1}{8a_n}\left(b_n-a_n\right)^2=\frac{1}{8a_n}\left(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}\,\right)^2\left(\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}\,\right)^2\\ &=\frac{1}{4a_n}\left(\sqrt{b_n}+\sqrt{a_n}\,\right)^2(b_{n+1}-a_{n+1})\\ &\geqq\frac{1}{4a_n}\left(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_n}\,\right)^2(b_{n+1}-a_{n+1}) \qquad(\because\enskip\kakko{1})\\ &=b_{n+1}-a_{n+1} \end{split}\] \kakko{3}\ \[ \begin{array}{c||c|c|c|c} n\rule[-.6zh]{0pt}{2zh}&1 &2 &3 &4 \\\hline a_n\rule[-.6zh]{0pt}{2zh}& 100&300 &100\sqrt{15} &200\sqrt[4]{15} \\ \hline b_n\rule[-.6zh]{0pt}{2zh}&900 &500 &400 & 50\sqrt{15}+200\\ \hline b_n-a_n\rule[-.6zh]{0pt}{2zh}&800 &200 &100\left(4-\sqrt{15}\right) &? \end{array} \] ここで,$3.8^2=14.44<15<3.9^2=15.21$だから$3.8<\sqrt{15}<3.9$となり \[ 100(4-3.9)<b_3-a_3<100(4-3.8)\yueni 10<b_3-a_3<20 \] そこで,$n=3$について\kakko{2}の結果を用いると \[ b_4-a_4\leqq\frac{1}{8a_3}\left(b_3-a_3\right)^2<\frac{20^2}{8\cdot100\sqrt{15}}=\frac{1}{2\sqrt{15}}<4 \] となり,求める$n$は$n=\ans{4}$ %\betu %\chu \fi \end{document}