すうじあむ

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $xy$ 平面の原点Oを中心とし半径 1 の円$C$上に定点Aをとる．同じ円上の点X に対し，平面上の点Yを $\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-2 (\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}) \overrightarrow{\mathrm{OX}}$ で定める．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ の内積である．このとき \begin{toi} \item $|\overrightarrow{\mathrm{OY}}|=1$ であることを示せ． \item $\overrightarrow{\mathrm{OY}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ となる点Xをすべて求め よ． \item 点Xが円$C$を1回まわるとき，点Yは同じ円を2回まわることを示せ． \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \ajKakko{1}\ 必要ならば座標軸をとりかえ，A$(1,\ 0)$としてよい．このとき X$(\cos\theta,\ \sin\theta)$とおくと \begin{align*} \VEC{OY}&=\nixiti{1}{0}-2\cos\theta\nixiti{\cos\theta}{\sin\theta} =\nixiti{1-2\cos^2\theta}{-2\sin\theta\cos\theta}\\ &=\nixiti{-\cos2\theta}{-2\sin\theta}=\nixiti{\cos(2\theta+\pi)}{\sin(2\theta+\pi)} \end{align*} したがって，$\abs{\VEC{OY}}=1$である． \ajKakko{2}\ $\VEC{OY}=-\VEC{OA}=\nixiti{-1}{0}$となるのは \[ \nixiti{\cos(2\theta+\pi)}{\sin(2\theta+\pi)}=\nixiti{-1}{0} \yuen 2\theta+\pi=(2n+1)\pi \] \[ \yueni \theta=n\pi\quad\text{($n$は整数)} \] したがって， \[ \VEC{OX}=\nixiti{\pm1}{0}=\pm\VEC{OA} \] となり，Xは \textgt{Aまたは，Oに関してAと対称な点}である． \ajKakko{3}\ Xが円$C$を1回まわるとき，$\theta$が0から$2\pi$まで増加し，$2\theta+\pi$ は$\pi$から$5\pi$まで増加するので，Yは$C$を2回まわる．\qed \medskip \betu\ $xy$ 平面を複素平面とみなし，X$(z)$，Y$(w)$，A$(\alpha)$ とおくと， \begin{align*} w&=\alpha-2\cdot\frac{1}{2}(\overline{\alpha}z+\overline{z}\alpha)z\\ &=\alpha-\alpha z \overline{z}-\overline{\alpha}z^2\\ &=-\overline{\alpha}z^2 \end{align*} よって， \[ |w|=|\overline{\alpha}||z|^2=1 \] 　また，$w=-\alpha$ となるのは \[ -\overline{\alpha}z^2=-\alpha\qquad\therefore\quad z^2=\dfrac{\alpha}{\overline{\alpha}}=\alpha^2\qquad\therefore\quad z=\pm\alpha \] よって，Xは\textgt{点 A または，O に関する A の対称点}であり， さらに$w=-\overline{\alpha}z^2$ により，$z$ が単位円上を1周すると\ $w$ は単位円を2周する．\qed %\betu %\chu \fi \end{document}