京都大学 前期文系 1996年度 問1

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期文系
年度 1996年度
問No 問1
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 三角関数 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $xy$ 平面の原点Oを中心とし半径 1 の円$C$上に定点Aをとる.同じ円上の点X に対し,平面上の点Yを $\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-2 (\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}) \overrightarrow{\mathrm{OX}}$ で定める.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ の内積である.このとき \begin{toi} \item $|\overrightarrow{\mathrm{OY}}|=1$ であることを示せ. \item $\overrightarrow{\mathrm{OY}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ となる点Xをすべて求め よ. \item 点Xが円$C$を1回まわるとき,点Yは同じ円を2回まわることを示せ. \end{toi} \end{FRAME} \iffalse %kai \ajKakko{1}\ 必要ならば座標軸をとりかえ,A$(1,\ 0)$としてよい.このとき X$(\cos\theta,\ \sin\theta)$とおくと \begin{align*} \VEC{OY}&=\nixiti{1}{0}-2\cos\theta\nixiti{\cos\theta}{\sin\theta} =\nixiti{1-2\cos^2\theta}{-2\sin\theta\cos\theta}\\ &=\nixiti{-\cos2\theta}{-2\sin\theta}=\nixiti{\cos(2\theta+\pi)}{\sin(2\theta+\pi)} \end{align*} したがって,$\abs{\VEC{OY}}=1$である. \ajKakko{2}\ $\VEC{OY}=-\VEC{OA}=\nixiti{-1}{0}$となるのは \[ \nixiti{\cos(2\theta+\pi)}{\sin(2\theta+\pi)}=\nixiti{-1}{0} \yuen 2\theta+\pi=(2n+1)\pi \] \[ \yueni \theta=n\pi\quad\text{($n$は整数)} \] したがって, \[ \VEC{OX}=\nixiti{\pm1}{0}=\pm\VEC{OA} \] となり,Xは \textgt{Aまたは,Oに関してAと対称な点}である. \ajKakko{3}\ Xが円$C$を1回まわるとき,$\theta$が0から$2\pi$まで増加し,$2\theta+\pi$ は$\pi$から$5\pi$まで増加するので,Yは$C$を2回まわる.\qed \medskip \betu\ $xy$ 平面を複素平面とみなし,X$(z)$,Y$(w)$,A$(\alpha)$ とおくと, \begin{align*} w&=\alpha-2\cdot\frac{1}{2}(\overline{\alpha}z+\overline{z}\alpha)z\\ &=\alpha-\alpha z \overline{z}-\overline{\alpha}z^2\\ &=-\overline{\alpha}z^2 \end{align*} よって, \[ |w|=|\overline{\alpha}||z|^2=1 \]  また,$w=-\alpha$ となるのは \[ -\overline{\alpha}z^2=-\alpha\qquad\therefore\quad z^2=\dfrac{\alpha}{\overline{\alpha}}=\alpha^2\qquad\therefore\quad z=\pm\alpha \] よって,Xは\textgt{点 A または,O に関する A の対称点}であり, さらに$w=-\overline{\alpha}z^2$ により,$z$ が単位円上を1周すると\ $w$ は単位円を2周する.\qed %\betu %\chu \fi \end{document}