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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
前期文系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問1 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
三角関数 ・ ベクトル
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$xy$ 平面の原点Oを中心とし半径 1 の円$C$上に定点Aをとる.同じ円上の点X
に対し,平面上の点Yを
$\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-2
(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}) \overrightarrow{\mathrm{OX}}$
で定める.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ の内積である.このとき
\begin{toi}
\item $|\overrightarrow{\mathrm{OY}}|=1$ であることを示せ.
\item $\overrightarrow{\mathrm{OY}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ となる点Xをすべて求め
よ.
\item 点Xが円$C$を1回まわるとき,点Yは同じ円を2回まわることを示せ.
\end{toi}
\end{FRAME}
\iffalse
%kai
\ajKakko{1}\
必要ならば座標軸をとりかえ,A$(1,\ 0)$としてよい.このとき
X$(\cos\theta,\ \sin\theta)$とおくと
\begin{align*}
\VEC{OY}&=\nixiti{1}{0}-2\cos\theta\nixiti{\cos\theta}{\sin\theta}
=\nixiti{1-2\cos^2\theta}{-2\sin\theta\cos\theta}\\
&=\nixiti{-\cos2\theta}{-2\sin\theta}=\nixiti{\cos(2\theta+\pi)}{\sin(2\theta+\pi)}
\end{align*}
したがって,$\abs{\VEC{OY}}=1$である.
\ajKakko{2}\
$\VEC{OY}=-\VEC{OA}=\nixiti{-1}{0}$となるのは
\[
\nixiti{\cos(2\theta+\pi)}{\sin(2\theta+\pi)}=\nixiti{-1}{0}
\yuen
2\theta+\pi=(2n+1)\pi
\]
\[
\yueni \theta=n\pi\quad\text{($n$は整数)}
\]
したがって,
\[
\VEC{OX}=\nixiti{\pm1}{0}=\pm\VEC{OA}
\]
となり,Xは
\textgt{Aまたは,Oに関してAと対称な点}である.
\ajKakko{3}\
Xが円$C$を1回まわるとき,$\theta$が0から$2\pi$まで増加し,$2\theta+\pi$
は$\pi$から$5\pi$まで増加するので,Yは$C$を2回まわる.\qed
\medskip
\betu\
$xy$ 平面を複素平面とみなし,X$(z)$,Y$(w)$,A$(\alpha)$ とおくと,
\begin{align*}
w&=\alpha-2\cdot\frac{1}{2}(\overline{\alpha}z+\overline{z}\alpha)z\\
&=\alpha-\alpha z \overline{z}-\overline{\alpha}z^2\\
&=-\overline{\alpha}z^2
\end{align*}
よって,
\[
|w|=|\overline{\alpha}||z|^2=1
\]
また,$w=-\alpha$ となるのは
\[
-\overline{\alpha}z^2=-\alpha\qquad\therefore\quad z^2=\dfrac{\alpha}{\overline{\alpha}}=\alpha^2\qquad\therefore\quad z=\pm\alpha
\]
よって,Xは\textgt{点 A または,O に関する A の対称点}であり,
さらに$w=-\overline{\alpha}z^2$ により,$z$ が単位円上を1周すると\
$w$ は単位円を2周する.\qed
%\betu
%\chu
\fi
\end{document}