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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
1996年度 |
問No |
問5 |
学部 |
理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
|
カテゴリ |
確率 ・ ベクトル
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$xy$ 平面上の正三角形 $\bigtriangleup$ABC を考える.
$\bigtriangleup$ABC の重心は原点Oにあり,ベクトル %
$\Vec{\mathrm{OA}}$ の長さは1とする.$\bigtriangleup$ABC
の内部または辺上の点$\mathrm{P}_0$に対し,3頂点A,B,Cか
ら1点を等確率 $\Frac{1}{3}$ で選び,この頂点と
$\mathrm{P}_0$の中点を$\mathrm{P}_1$とする.次に点
$\mathrm{P}_1$に対し同様の操作を行い得られた点を
$\mathrm{P}_2$とし,以下この操作を繰り返して,点
$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\cdots$,$\mathrm{P}_n$
を作る.ベクトル $\Vec{\mathrm{OP}_n}$ の長さの2乗 %
$|\Vec{\mathrm{OP}_n}|^2$ の期待値を $E_n$ とおく.
\begin{toi}
\item $E_1$ をベクトル $\Vec{\mathrm{OP}_0}$ の長さを用
いて表せ.
\item 選んだ頂点が $\mathrm{X}_1$,$\mathrm{X}_2$
,$\cdots$,$\mathrm{X}_n$のとき,ベクトル %
$\Vec{\mathrm{OP}_n}$ をベクトル %
$\Vec{\mathrm{OP}_0}$ と $\Vec{\mathrm{OX}_i}$,
$i=1$,2,$\cdots$,$n$,を用いて表せ.
\item $\mathrm{P}_0$ が原点Oのとき $E_n$ を求めよ.
\end{toi}
\end{FRAME}
\end{document}