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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
| 大学名 |
京都大学 |
| 学科・方式 |
前期理系 |
| 年度 |
1996年度 |
| 問No |
問5 |
| 学部 |
理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間（理）
|
| カテゴリ |
確率 ・ ベクトル
|
| 状態 |
   |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
$xy$ 平面上の正三角形 $\bigtriangleup$ABC を考える．
$\bigtriangleup$ABC の重心は原点Oにあり，ベクトル %
$\Vec{\mathrm{OA}}$ の長さは1とする．$\bigtriangleup$ABC
の内部または辺上の点$\mathrm{P}_0$に対し，3頂点A，B，Cか
ら1点を等確率 $\Frac{1}{3}$ で選び，この頂点と
$\mathrm{P}_0$の中点を$\mathrm{P}_1$とする．次に点
$\mathrm{P}_1$に対し同様の操作を行い得られた点を
$\mathrm{P}_2$とし，以下この操作を繰り返して，点
$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$
を作る．ベクトル $\Vec{\mathrm{OP}_n}$ の長さの2乗 %
$|\Vec{\mathrm{OP}_n}|^2$ の期待値を $E_n$ とおく．
\begin{toi}
\item $E_1$ をベクトル $\Vec{\mathrm{OP}_0}$ の長さを用
いて表せ．
\item 選んだ頂点が $\mathrm{X}_1$，$\mathrm{X}_2$
，$\cdots$，$\mathrm{X}_n$のとき，ベクトル %
$\Vec{\mathrm{OP}_n}$ をベクトル %
$\Vec{\mathrm{OP}_0}$ と $\Vec{\mathrm{OX}_i}$，
$i=1$，2，$\cdots$，$n$，を用いて表せ．
\item $\mathrm{P}_0$ が原点Oのとき $E_n$ を求めよ．
\end{toi}
\end{FRAME}
\end{document}
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