京都大学 前期理系 1996年度 問5

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期理系
年度 1996年度
問No 問5
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 確率 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $xy$ 平面上の正三角形 $\bigtriangleup$ABC を考える. $\bigtriangleup$ABC の重心は原点Oにあり,ベクトル % $\Vec{\mathrm{OA}}$ の長さは1とする.$\bigtriangleup$ABC の内部または辺上の点$\mathrm{P}_0$に対し,3頂点A,B,Cか ら1点を等確率 $\Frac{1}{3}$ で選び,この頂点と $\mathrm{P}_0$の中点を$\mathrm{P}_1$とする.次に点 $\mathrm{P}_1$に対し同様の操作を行い得られた点を $\mathrm{P}_2$とし,以下この操作を繰り返して,点 $\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\cdots$,$\mathrm{P}_n$ を作る.ベクトル $\Vec{\mathrm{OP}_n}$ の長さの2乗 % $|\Vec{\mathrm{OP}_n}|^2$ の期待値を $E_n$ とおく. \begin{toi} \item $E_1$ をベクトル $\Vec{\mathrm{OP}_0}$ の長さを用 いて表せ. \item 選んだ頂点が $\mathrm{X}_1$,$\mathrm{X}_2$ ,$\cdots$,$\mathrm{X}_n$のとき,ベクトル % $\Vec{\mathrm{OP}_n}$ をベクトル % $\Vec{\mathrm{OP}_0}$ と $\Vec{\mathrm{OX}_i}$, $i=1$,2,$\cdots$,$n$,を用いて表せ. \item $\mathrm{P}_0$ が原点Oのとき $E_n$ を求めよ. \end{toi} \end{FRAME} \end{document}