大阪大学 前期理系 1995年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1995年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 次の2つのだ円を考える. \[ だ円A : \dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1,\quad だ円B : x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \] これらに関して,以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  だ円 $A$ をだ円 $B$ に移し, 点$(2,\,\,0)$を点$(\cos\theta,\,\,2\sin\theta)$に移す1次変換を表す行列を 求めよ. \item  だ円 $A$ をだ円 $B$ に移す1次変換を $f$ とする. 原点をOとし, 2点$(2,\,\,0),\,\,(0,\,\,1)$が $f$ によって移る点をそれぞれP,\,\,Qとする. $\angle\P\O\Q$が最小となるように $f$ を選んだとき, $\cos\angle\P\O\Q$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1995年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 次の2つのだ円を考える. \[ だ円A : \dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1,\quad だ円B : x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1 \] これらに関して,以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  だ円 $A$ をだ円 $B$ に移し, 点$(2,\,\,0)$を点$(\cos\theta,\,\,2\sin\theta)$に移す1次変換を表す行列を 求めよ. \item  だ円 $A$ をだ円 $B$ に移す1次変換を $f$ とする. 原点をOとし, 2点$(2,\,\,0),\,\,(0,\,\,1)$が $f$ によって移る点をそれぞれP,\,\,Qとする. $\angle\P\O\Q$が最小となるように $f$ を選んだとき, $\cos\angle\P\O\Q$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm どのような実数 $x$ に対しても, 不等式 $\zettaiti{x^3 + ax^2 + bx + c} \leqq \zettaiti{x^3}$ が成り立つように, 実数 $a,\,\,b,\,\,c$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 正の実数 $a$ に対して, $f(x) = a\log x + 1$ とおく. 点$(-a,\,\,0)$から曲線 $y = f(x)$ に接線をひき, 接点の$x$座標を $x_0$ とする. 曲線 $y = f(x)$ と$x$軸と直線 $x = x_0$ によって 囲まれる部分の面積を $S(a)$ で表す. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $S(a)$ を求めよ. \item  $\dfrac{S(a)}{a^2}$ の最大値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $f(x) = -\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ とおき,\smallskip 曲線 $C : y = f(x)$ を考える. 1辺の長さ $a$ の正三角形PQRは最初, 辺QRの中点Mが曲線 $C$ 上の点$(0,\,\,f(0))$に一致し, QRが $C$ に接し, さらにPが $y > f(x)$ の範囲にあるようにおかれている. ついで,$\triangle\P\Q\R$が曲線 $C$ に接しながら滑ることなく右に傾いてゆく. 最初の状態から, 点Rが初めて曲線 $C$ 上にくるまでの間, 点Pの$y$座標が一定であるように, $a$ を定めよ.\\ \hfill(配点率20%) \begin{center} %\input{osaka95s4f_zu_2}% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 39.3500, 14.0000)( 7.3000,-20.6000) % POLYGON 2 0 3 0 % 4 1078 1800 2114 1800 1596 902 1078 1800 % \special{pn 8}% \special{pa 1078 1800}% \special{pa 2114 1800}% \special{pa 1596 902}% \special{pa 1078 1800}% \special{fp}% % ELLIPSE 2 0 3 0 % 4 1596 2215 2529 2630 2456 2060 730 2060 % \special{pn 8}% \special{ar 1596 2216 934 416 3.5236908 5.8986757}% % ELLIPSE 2 0 3 0 % 4 3799 2213 4732 2628 4660 2059 2933 2059 % \special{pn 8}% \special{ar 3800 2214 934 416 3.5217008 5.9010780}% % POLYGON 2 0 3 0 % 4 3292 1616 4300 1860 4008 865 3292 1616 % \special{pn 8}% \special{pa 3292 1616}% \special{pa 4300 1860}% \special{pa 4008 866}% \special{pa 3292 1616}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1596 1800 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1596 1800 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 3795 1736 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 3796 1736 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 1480 788 1480 840 2 0 % {\footnotesize P} \put(14.8000,-8.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize P}}}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 1653 1343 1711 1884 1845 665 1578 652 % \special{pn 8}% \special{ar 1654 1344 544 544 4.6042739 4.9883495}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1780 814 1840 831 % \special{pn 8}% \special{pa 1780 814}% \special{pa 1840 832}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1840 832}% \special{pa 1782 794}% \special{pa 1790 816}% \special{pa 1770 832}% \special{pa 1840 832}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 930 1809 930 1860 2 0 % {\footnotesize Q} \put(9.3000,-18.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize Q}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2140 1799 2140 1850 2 0 % {\footnotesize R} \put(21.4000,-18.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize R}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 4310 1778 4310 1830 2 0 % {\footnotesize R} \put(43.1000,-18.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize R}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3160 1608 3160 1660 2 0 % {\footnotesize Q} \put(31.6000,-16.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize Q}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1540 1698 1540 1750 2 0 % {\footnotesize M} \put(15.4000,-17.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize M}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3740 1638 3740 1690 2 0 % {\footnotesize M} \put(37.4000,-16.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize M}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1390 1908 1390 1960 2 0 % {\scriptsize$(0,\,f(0))$} \put(13.9000,-19.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$(0,\,f(0))$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2360 2128 2360 2180 2 0 % {\footnotesize $C$} \put(23.6000,-21.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $C$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3960 778 3960 830 2 0 % {\footnotesize P} \put(39.6000,-8.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize P}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 4560 2128 4560 2180 2 0 % {\footnotesize $C$} \put(45.6000,-21.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $C$}}}% \end{picture}% \end{center} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 自然数 $n$ に対して図形 $T_n$ を以下のように順に定義する. まず $T_1$ は, 3つの点を2つの長さ1の線分で図1のように結んで定義する. 一般に図形 $T_{n+1}$ は図形 $T_n$ の2つと点を1つ用意し, その点と $T_n$ の一番上の点を長さ1の線分で結ぶことにより, 図2のように定義する. たとえば $T_3$ は図3のようになる. $T_n$ を通信回路と考える. 隣接する2つの点を結ぶ長さ1の通信路が故障しているかどうかは互いに独立であって, その確率はすべて $p$ であるとする. $T_n$ の一番上の点をO, 一番下の$2^n$個の点の集合を $A_n$ で表す. Oから $A_n$ のどの点へも通信できない確率を $p_n$ とする. \begin{center} %\input{osaka95s5f_zu_2}% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 40.0500, 15.0300)( 9.4700,-19.0000) % LINE 1 0 3 0 % 2 1175 760 950 1300 % \special{pn 13}% \special{pa 1176 760}% \special{pa 950 1300}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 1175 760 1400 1300 % \special{pn 13}% \special{pa 1176 760}% \special{pa 1400 1300}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1175 760 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1176 760 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 950 1300 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 950 1300 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1400 1300 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1400 1300 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 980 1980 980 2070 2 0 % {\scriptsize 図1:$T_1$} \put(9.8000,-20.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 図1:$T_1$}}}% % ELLIPSE 1 0 3 0 % 4 2407 1302 2658 1662 2658 1662 2658 1662 % \special{pn 13}% \special{ar 2408 1302 252 360 0.0000000 6.2831853}% % ELLIPSE 1 0 3 0 % 4 3055 1302 3306 1662 3306 1662 3306 1662 % \special{pn 13}% \special{ar 3056 1302 252 360 0.0000000 6.2831853}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2731 582 2407 942 % \special{pn 13}% \special{pa 2732 582}% \special{pa 2408 942}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2731 582 3055 942 % \special{pn 13}% \special{pa 2732 582}% \special{pa 3056 942}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2731 582 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2732 582 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 3875 1785 3951 1323 4029 1785 4029 1785 % \special{pn 13}% \special{pa 3876 1786}% \special{pa 3952 1324}% \special{pa 4030 1786}% \special{pa 4030 1786}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 4183 1785 4259 1323 4336 1785 4336 1785 % \special{pn 13}% \special{pa 4184 1786}% \special{pa 4260 1324}% \special{pa 4336 1786}% \special{pa 4336 1786}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 4490 1785 4567 1323 4644 1785 4644 1785 % \special{pn 13}% \special{pa 4490 1786}% \special{pa 4568 1324}% \special{pa 4644 1786}% \special{pa 4644 1786}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 4798 1785 4875 1323 4952 1785 4952 1785 % \special{pn 13}% \special{pa 4798 1786}% \special{pa 4876 1324}% \special{pa 4952 1786}% \special{pa 4952 1786}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 3951 1323 4105 861 4259 1323 4259 1323 % \special{pn 13}% \special{pa 3952 1324}% \special{pa 4106 862}% \special{pa 4260 1324}% \special{pa 4260 1324}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 4567 1323 4721 861 4875 1323 4875 1323 % \special{pn 13}% \special{pa 4568 1324}% \special{pa 4722 862}% \special{pa 4876 1324}% \special{pa 4876 1324}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 5 4105 861 4413 400 4413 400 4721 861 4721 861 % \special{pn 13}% \special{pa 4106 862}% \special{pa 4414 400}% \special{pa 4414 400}% \special{pa 4722 862}% \special{pa 4722 862}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4413 400 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4414 400 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4105 861 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4106 862 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4721 861 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4722 862 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 3951 1323 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 3952 1324 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4259 1323 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4260 1324 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4567 1323 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4568 1324 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4875 1323 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4876 1324 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 8 4952 1785 4798 1785 4644 1785 4490 1785 4336 1785 4183 1785 4029 1785 3875 1785 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4952 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4798 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4644 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4490 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4336 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4184 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4030 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 3876 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 2480 1980 2480 2070 2 0 % {\scriptsize 図2:$T_{n+1}$} \put(24.8000,-20.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 図2:$T_{n+1}$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 4208 1975 4208 2065 2 0 % {\scriptsize 図3:$T_3$} \put(42.0800,-20.6500){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 図3:$T_3$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2354 1264 2354 1354 2 0 % {\scriptsize$T_n$} \put(23.5400,-13.5400){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$T_n$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3011 1264 3011 1354 2 0 % {\scriptsize$T_n$} \put(30.1100,-13.5400){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$T_n$}}}% \end{picture}% \end{center} \vskip 2mm \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $p_n$ と $p_{n+1}$ の関係式を求めよ. \item  $1 - p_{n+1} \leqq 2(1 - p)(1 - p_n)$ となることを示せ. \item  $p > \dfrac{1}{2}$ のとき, $\lim\limits_{n \to \infty} p_n$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}