大阪大学 前期理系 1994年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1994年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 各自然数 $n$ に対して曲線 $y = e^{nx} - 1$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ の第1象限に おける交点の座標を$(p_n,\,\,q_n)$とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x \geqq 0$ のとき不等式 $e^{nx} - 1 \geqq nx$ が成り立つことを証明せよ. \item  (1)の結果を用いて $\lim\limits_{n \to \infty} p_n = 0$ を証明せよ. \item  (2)の結果を用いて $\lim\limits_{n \to \infty} q_n$ および % $\lim\limits_{n \to \infty} np_n$ を求めよ. \item  4点$(0,\,\,0),\,\,(0,\,\,q_n),\,\,(p_n,\,\,q_n)$を頂点とする長方形の 面積を $S_n$ で表し, また曲線 $y = e^{nx} - 1$,$x$軸,\smallskip 直線 $y = p_n$ で囲まれた図形の面積を $T_n$ で表すことにする. このとき $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{T_n}{S_n}$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}