大阪大学 前期理系 1992年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1992年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 図形と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $f(x),\,\,g(x)$ を2次関数とし, 2つの放物線 $F : y = f(x),\,\,\,G : y = g(x)$ を考える. ただし,$F$ は下に凸で原点Oを頂点とし, $G$ は上に凸でその頂点AはOと異なるものとする. $G$ の上の点Pを直線OA上にはないようにとる. 点Oを通り直線APに平行な直線と $F$ との交点のうち, O以外の点をQとする. さらに, 直線OAと直線PQの交点をRとする.\smallskip このとき,\smallskip 線分の長さの比 $\dfrac{\A\R}{\O\R}$ は点Pのとり方に関係なく 一定であることを示せ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1992年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $f(x),\,\,g(x)$ を2次関数とし, 2つの放物線 $F : y = f(x),\,\,\,G : y = g(x)$ を考える. ただし,$F$ は下に凸で原点Oを頂点とし, $G$ は上に凸でその頂点AはOと異なるものとする. $G$ の上の点Pを直線OA上にはないようにとる. 点Oを通り直線APに平行な直線と $F$ との交点のうち, O以外の点をQとする. さらに, 直線OAと直線PQの交点をRとする.\smallskip このとき,\smallskip 線分の長さの比 $\dfrac{\A\R}{\O\R}$ は点Pのとり方に関係なく 一定であることを示せ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm $xyz$空間において, $x$軸を $l$ とし, 2点$(1,\,\,1,\,\,0)$と$(0,\,\,0,\,\,1)$を通る直線を $m$ とする. 点$\P(1-t,\,\,{-t},\,\,1-t)$を通り, 2直線 $l$ と $m$ の両方に交わる直線 $n$ が存在するための $t$ についての条件を求めよ. また,直線 $n$ の方程式を求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 2以上の自然数 $n$ に対して, 不等式 \[ \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \cdotss + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{4} \] が成り立つことを示せ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 図のような容器を考える. 空の状態から始めて, 単位時間一定の割合で水を注入し, 底から測った水面の高さ $h$ が10になるまで続ける. 水面の上昇する速さ $v$ は, 水面の高さ $h$ の関数として, \[ v = \frac{\sqrt{\vphantom{b} 2 + h}}{\log(2 + h)} \quad (0 \leqq h \leqq 10) \] で与えられるものとする. 水面の上昇が始まってから水面の面積が最大となるまでの時間を求めよ. \hfill(配点率20%) \begin{center} %\input{osaka92s4f_zu_2} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 12.6900, 17.5400)( 13.2900,-22.2500) % ELLIPSE 1 0 3 0 % 4 1624 528 1849 585 1849 585 1849 585 % \special{pn 13}% \special{ar 1624 528 226 58 0.0000000 6.2831853}% % ELLIPSE 1 0 3 0 % 4 1846 1668 2227 1743 2227 1743 2227 1743 % \special{pn 13}% \special{ar 1846 1668 382 76 0.0000000 6.2831853}% % SPLINE 1 0 3 0 % 29 1849 533 1828 558 1817 565 1802 573 1786 581 1780 592 1772 614 1786 636 1828 651 1860 655 1927 673 1964 691 2004 731 2041 794 2071 864 2089 912 2111 994 2130 1063 2141 1112 2155 1177 2180 1311 2199 1411 2217 1543 2225 1624 2233 1724 2236 1807 2236 1871 2236 1996 2225 2176 % \special{pn 13}% \special{pa 1850 534}% \special{pa 1830 558}% \special{pa 1802 574}% \special{pa 1780 596}% \special{pa 1776 626}% \special{pa 1802 646}% \special{pa 1834 652}% \special{pa 1864 656}% \special{pa 1896 664}% \special{pa 1926 674}% \special{pa 1956 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\special{pa 1910 1742}% \special{fp}% \special{pa 2234 2044}% \special{pa 1928 1740}% \special{fp}% \special{pa 2236 2026}% \special{pa 1950 1740}% \special{fp}% \special{pa 2236 2004}% \special{pa 1972 1740}% \special{fp}% \special{pa 2236 1982}% \special{pa 1990 1736}% \special{fp}% \special{pa 2236 1960}% \special{pa 2012 1736}% \special{fp}% \special{pa 2236 1938}% \special{pa 2030 1732}% \special{fp}% \special{pa 2236 1916}% \special{pa 2052 1732}% \special{fp}% \special{pa 2236 1894}% \special{pa 2072 1728}% \special{fp}% \special{pa 2236 1872}% \special{pa 2090 1724}% \special{fp}% \special{pa 2236 1850}% \special{pa 2112 1724}% \special{fp}% \special{pa 2236 1826}% \special{pa 2130 1720}% \special{fp}% \special{pa 2236 1806}% \special{pa 2144 1714}% \special{fp}% \special{pa 2236 1782}% \special{pa 2162 1708}% \special{fp}% \special{pa 2234 1758}% \special{pa 2180 1706}% \special{fp}% \special{pa 2234 1736}% \special{pa 2196 1698}% \special{fp}% \special{pa 2234 1714}% \special{pa 2210 1690}% \special{fp}% \special{pa 2230 1688}% \special{pa 2222 1680}% \special{fp}% % ELLIPSE 1 0 3 0 % 4 1919 2169 2229 2225 2229 2225 2229 2225 % \special{pn 13}% \special{ar 1920 2170 310 56 0.0000000 6.2831853}% % LINE 2 2 3 0 % 2 2229 1672 2598 1672 % \special{pn 8}% \special{pa 2230 1672}% \special{pa 2598 1672}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 2 3 0 % 2 2229 2169 2598 2169 % \special{pn 8}% \special{pa 2230 2170}% \special{pa 2598 2170}% \special{dt 0.045}% % STR 2 0 3 0 % 3 2380 1924 2380 1960 2 0 % {\scriptsize$h$} \put(23.8000,-19.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$h$}}}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2410 1850 2410 1673 % \special{pn 8}% \special{pa 2410 1850}% \special{pa 2410 1674}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2410 1674}% \special{pa 2390 1740}% \special{pa 2410 1726}% \special{pa 2430 1740}% \special{pa 2410 1674}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2410 1990 2410 2168 % \special{pn 8}% \special{pa 2410 1990}% \special{pa 2410 2168}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2410 2168}% \special{pa 2430 2102}% \special{pa 2410 2116}% \special{pa 2390 2102}% \special{pa 2410 2168}% \special{fp}% \end{picture}% \end{center} \vskip 2zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm \noindent \begin{minipage}{260pt}  $n$ を2以上の自然数とする. $xy$平面上に,一辺の長さが1の正方形の板4枚を, 次の2条件をみたすように配置する. \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \item[(イ)]  各板の4頂点の$x$座標, $y$座標は, 絶対値が$n$以下の整数である. \item[(ロ)]  4枚の板は互いに重なり合うことはない. \end{enumerate} \vspace{-2mm}  また,(イ),\,\,(ロ)の条件の下で, どの配置も同様に確からしいものとする.  次の問いに答えよ. \end{minipage} \begin{minipage}{160pt} \vspace*{-1.5zw}\hspace*{1zw}% %\input{osaka92s5f_zu_1} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 20.1500, 18.3000)( 6.8000,-26.6000) % BOX 2 0 3 0 % 2 1195 1200 2395 2400 % \special{pn 8}% \special{pa 1196 1200}% \special{pa 2396 1200}% \special{pa 2396 2400}% \special{pa 1196 2400}% \special{pa 1196 1200}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 995 1800 2695 1800 % \special{pn 8}% \special{pa 996 1800}% \special{pa 2696 1800}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2696 1800}% \special{pa 2628 1780}% \special{pa 2642 1800}% \special{pa 2628 1820}% \special{pa 2696 1800}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1795 2600 1795 900 % \special{pn 8}% \special{pa 1796 2600}% \special{pa 1796 900}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1796 900}% \special{pa 1776 968}% \special{pa 1796 954}% \special{pa 1816 968}% \special{pa 1796 900}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1395 1200 1395 2400 % \special{pn 8}% \special{pa 1396 1200}% \special{pa 1396 2400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1595 1200 1595 2400 % \special{pn 8}% \special{pa 1596 1200}% \special{pa 1596 2400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1995 1200 1995 2400 % \special{pn 8}% \special{pa 1996 1200}% \special{pa 1996 2400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2195 1200 2195 2400 % \special{pn 8}% \special{pa 2196 1200}% \special{pa 2196 2400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1195 1400 2395 1400 % \special{pn 8}% \special{pa 1196 1400}% \special{pa 2396 1400}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1195 1600 2395 1600 % \special{pn 8}% \special{pa 1196 1600}% \special{pa 2396 1600}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1195 2000 2395 2000 % \special{pn 8}% \special{pa 1196 2000}% \special{pa 2396 2000}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1195 2200 2395 2200 % \special{pn 8}% \special{pa 1196 2200}% \special{pa 2396 2200}% \special{fp}% % LINE 3 0 3 0 % 24 1395 1220 1215 1400 1385 1200 1195 1390 1355 1200 1195 1360 1325 1200 1195 1330 1295 1200 1195 1300 1265 1200 1195 1270 1235 1200 1195 1240 1395 1250 1245 1400 1395 1280 1275 1400 1395 1310 1305 1400 1395 1340 1335 1400 1395 1370 1365 1400 % \special{pn 4}% \special{pa 1396 1220}% \special{pa 1216 1400}% \special{fp}% \special{pa 1386 1200}% \special{pa 1196 1390}% \special{fp}% \special{pa 1356 1200}% \special{pa 1196 1360}% \special{fp}% \special{pa 1326 1200}% \special{pa 1196 1330}% \special{fp}% \special{pa 1296 1200}% \special{pa 1196 1300}% \special{fp}% \special{pa 1266 1200}% \special{pa 1196 1270}% \special{fp}% \special{pa 1236 1200}% \special{pa 1196 1240}% \special{fp}% \special{pa 1396 1250}% \special{pa 1246 1400}% \special{fp}% \special{pa 1396 1280}% \special{pa 1276 1400}% \special{fp}% \special{pa 1396 1310}% \special{pa 1306 1400}% \special{fp}% \special{pa 1396 1340}% \special{pa 1336 1400}% \special{fp}% \special{pa 1396 1370}% \special{pa 1366 1400}% \special{fp}% % LINE 3 0 3 0 % 26 1595 1260 1455 1400 1595 1230 1425 1400 1590 1205 1400 1395 1565 1200 1395 1370 1535 1200 1395 1340 1505 1200 1395 1310 1475 1200 1395 1280 1445 1200 1395 1250 1415 1200 1395 1220 1595 1290 1485 1400 1595 1320 1515 1400 1595 1350 1545 1400 1595 1380 1575 1400 % \special{pn 4}% \special{pa 1596 1260}% \special{pa 1456 1400}% \special{fp}% \special{pa 1596 1230}% \special{pa 1426 1400}% \special{fp}% \special{pa 1590 1206}% \special{pa 1400 1396}% \special{fp}% \special{pa 1566 1200}% 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2200}% \special{fp}% \special{pa 2196 2040}% \special{pa 2036 2200}% \special{fp}% \special{pa 2196 2070}% \special{pa 2066 2200}% \special{fp}% \special{pa 2196 2100}% \special{pa 2096 2200}% \special{fp}% \special{pa 2196 2130}% \special{pa 2126 2200}% \special{fp}% \special{pa 2196 2160}% \special{pa 2156 2200}% \special{fp}% \special{pa 2146 2000}% \special{pa 1996 2150}% \special{fp}% \special{pa 2116 2000}% \special{pa 1996 2120}% \special{fp}% \special{pa 2086 2000}% \special{pa 1996 2090}% \special{fp}% \special{pa 2056 2000}% \special{pa 1996 2060}% \special{fp}% \special{pa 2026 2000}% \special{pa 1996 2030}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1810 1870 1810 1920 2 0 % {\footnotesize O} \put(18.1000,-19.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2600 1700 2600 1750 2 0 % $x$ \put(26.0000,-17.5000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1850 950 1850 1000 2 0 % $y$ \put(18.5000,-10.0000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2440 1210 2440 1260 2 0 % {\scriptsize$(3,\,3)$} \put(24.4000,-12.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$(3,\,3)$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2440 2420 2440 2470 2 0 % {\scriptsize$(3,\,-3)$} \put(24.4000,-24.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$(3,\,-3)$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 780 1220 780 1270 2 0 % {\scriptsize$(-3,\,3)$} \put(7.8000,-12.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$(-3,\,3)$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 680 2430 680 2480 2 0 % {\scriptsize$(-3,\,-3)$} \put(6.8000,-24.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$(-3,\,-3)$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1230 2730 1230 2830 2 0 % {\footnotesize $(n=3のときの例)$} \put(12.3000,-28.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $(n=3のときの例)$}}}% \end{picture}% \end{minipage} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  頂点のひとつが原点となるような板の枚数の期待値を求めよ. \item  (1)で求めた期待値が$\dfrac{1}{100}$以下となる最小の$n$を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}