大阪大学 前期理系 1995年度 問5

解答を見る

解答作成者: 森 宏征

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1995年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。

\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 自然数 $n$ に対して図形 $T_n$ を以下のように順に定義する. まず $T_1$ は, 3つの点を2つの長さ1の線分で図1のように結んで定義する. 一般に図形 $T_{n+1}$ は図形 $T_n$ の2つと点を1つ用意し, その点と $T_n$ の一番上の点を長さ1の線分で結ぶことにより, 図2のように定義する. たとえば $T_3$ は図3のようになる. $T_n$ を通信回路と考える. 隣接する2つの点を結ぶ長さ1の通信路が故障しているかどうかは互いに独立であって, その確率はすべて $p$ であるとする. $T_n$ の一番上の点をO, 一番下の$2^n$個の点の集合を $A_n$ で表す. Oから $A_n$ のどの点へも通信できない確率を $p_n$ とする. \begin{center} %\input{osaka95s5f_zu_2}% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 40.0500, 15.0300)( 9.4700,-19.0000) % LINE 1 0 3 0 % 2 1175 760 950 1300 % \special{pn 13}% \special{pa 1176 760}% \special{pa 950 1300}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 1175 760 1400 1300 % \special{pn 13}% \special{pa 1176 760}% \special{pa 1400 1300}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1175 760 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1176 760 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 950 1300 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 950 1300 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1400 1300 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1400 1300 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 980 1980 980 2070 2 0 % {\scriptsize 図1:$T_1$} \put(9.8000,-20.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 図1:$T_1$}}}% % ELLIPSE 1 0 3 0 % 4 2407 1302 2658 1662 2658 1662 2658 1662 % \special{pn 13}% \special{ar 2408 1302 252 360 0.0000000 6.2831853}% % ELLIPSE 1 0 3 0 % 4 3055 1302 3306 1662 3306 1662 3306 1662 % \special{pn 13}% \special{ar 3056 1302 252 360 0.0000000 6.2831853}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2731 582 2407 942 % \special{pn 13}% \special{pa 2732 582}% \special{pa 2408 942}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2731 582 3055 942 % \special{pn 13}% \special{pa 2732 582}% \special{pa 3056 942}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2731 582 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2732 582 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 3875 1785 3951 1323 4029 1785 4029 1785 % \special{pn 13}% \special{pa 3876 1786}% \special{pa 3952 1324}% \special{pa 4030 1786}% \special{pa 4030 1786}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 4183 1785 4259 1323 4336 1785 4336 1785 % \special{pn 13}% \special{pa 4184 1786}% \special{pa 4260 1324}% \special{pa 4336 1786}% \special{pa 4336 1786}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 4490 1785 4567 1323 4644 1785 4644 1785 % \special{pn 13}% \special{pa 4490 1786}% \special{pa 4568 1324}% \special{pa 4644 1786}% \special{pa 4644 1786}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 4798 1785 4875 1323 4952 1785 4952 1785 % \special{pn 13}% \special{pa 4798 1786}% \special{pa 4876 1324}% \special{pa 4952 1786}% \special{pa 4952 1786}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 3951 1323 4105 861 4259 1323 4259 1323 % \special{pn 13}% \special{pa 3952 1324}% \special{pa 4106 862}% \special{pa 4260 1324}% \special{pa 4260 1324}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 4567 1323 4721 861 4875 1323 4875 1323 % \special{pn 13}% \special{pa 4568 1324}% \special{pa 4722 862}% \special{pa 4876 1324}% \special{pa 4876 1324}% \special{fp}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 5 4105 861 4413 400 4413 400 4721 861 4721 861 % \special{pn 13}% \special{pa 4106 862}% \special{pa 4414 400}% \special{pa 4414 400}% \special{pa 4722 862}% \special{pa 4722 862}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4413 400 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4414 400 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4105 861 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4106 862 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4721 861 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4722 862 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 3951 1323 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 3952 1324 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4259 1323 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4260 1324 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4567 1323 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4568 1324 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 4875 1323 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4876 1324 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 8 4952 1785 4798 1785 4644 1785 4490 1785 4336 1785 4183 1785 4029 1785 3875 1785 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 4952 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4798 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4644 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4490 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4336 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4184 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 4030 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% \special{sh 1}% \special{ar 3876 1786 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 2480 1980 2480 2070 2 0 % {\scriptsize 図2:$T_{n+1}$} \put(24.8000,-20.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 図2:$T_{n+1}$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 4208 1975 4208 2065 2 0 % {\scriptsize 図3:$T_3$} \put(42.0800,-20.6500){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 図3:$T_3$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2354 1264 2354 1354 2 0 % {\scriptsize$T_n$} \put(23.5400,-13.5400){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$T_n$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3011 1264 3011 1354 2 0 % {\scriptsize$T_n$} \put(30.1100,-13.5400){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$T_n$}}}% \end{picture}% \end{center} \vskip 2mm \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $p_n$ と $p_{n+1}$ の関係式を求めよ. \item  $1 - p_{n+1} \leqq 2(1 - p)(1 - p_n)$ となることを示せ. \item  $p > \dfrac{1}{2}$ のとき, $\lim\limits_{n \to \infty} p_n$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}