大阪大学 前期理系 1982年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1982年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 関数 \smallskip$f(x) = \dfrac{1}{3}\sin 3x - 2\sin 2x + \sin x$ の 区間$[0,\,\,\pi]$における最大値および最小値を求めよ. \hfill(満点40点) \vskip 2zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1982年度理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 関数 \smallskip$f(x) = \dfrac{1}{3}\sin 3x - 2\sin 2x + \sin x$ の 区間$[0,\,\,\pi]$における最大値および最小値を求めよ. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 条件 $1 < x < 2^{n+1}$ および $0 < y \leqq \log_2 x$ を みたす整数 $x,\,\,y$ を座標とする点$(x,\,\,y)$の個数を求めよ. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $yz$平面に接する球の$xy$平面による切り口が, 3点 $\O = (0,\,\,0,\,\,0),\,\,\, \A = (1,\,\,\sqrt{\vphantom{b} 3},\,\,0),\\ \B = (4,\,\,0,\,\,0)$ を頂点とする三角形の内接円である. この球の中心および半径を求めよ. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 1つのさいころを$r$回振る. 第$i$回目に出る目の数を $n_i$ とする. そのとき \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3} \times n_1 \times \cdots \times n_r \right) \neq 0$ となる確率 $P_1$ を求めよ. \item  $r$回のうち,\smallskip ちょうど$k$個の $i$ について % $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3} \times n_i \right) > 0$ となる 確率 $P_2$ を求めよ. \item  $r > 2k > 0$ のとき, $P_2 > P_1$ が成り立つことを示せ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $k > 1$ のとき \[ x\log x \geqq (1 + \log k)(x - k) + k\log k \] が $x \geqq 1$ に対して成り立つことを示せ. \item  $n$ を2以上の整数とする. このとき \[ a_n = \sum_{k=2}^n k\log k \] とおけば, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ a_n < \int_\frac{3}{2}^{n+\frac{1}{2}} x \log x\,dx < \frac{1}{2}\!\left(n + \frac{1}{2} \right)^{\!\! 2} \left\{ \log\left(n + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \right\} + 1 \] ただし,対数はすべて自然対数とする. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \end{document}