大阪大学 前期理系 1982年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1982年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $k > 1$ のとき \[ x\log x \geqq (1 + \log k)(x - k) + k\log k \] が $x \geqq 1$ に対して成り立つことを示せ. \item  $n$ を2以上の整数とする. このとき \[ a_n = \sum_{k=2}^n k\log k \] とおけば, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ a_n < \int_\frac{3}{2}^{n+\frac{1}{2}} x \log x\,dx < \frac{1}{2}\!\left(n + \frac{1}{2} \right)^{\!\! 2} \left\{ \log\left(n + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \right\} + 1 \] ただし,対数はすべて自然対数とする. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \end{document}