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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
文系 |
年度 |
2001年度 |
問No |
問2 |
学部 |
文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
|
カテゴリ |
ベクトル
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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空間のベクトル $\vecx = (x_1,\,\,x_2,\,\,x_3),\,\,\,
\vecy = (y_1,\,\,y_2,\,\,y_3)$ を考える.
ただし,どちらも零ベクトルではないとする.
$k = 1,\,\,2,\,\,3$ に対し,複素数
\begin{align*}
& z_k = x_k + y_ki \quad
(i = \sqrt{-1}\,は虚数単位)
\intertext{を考え,複素数 $w_k = u_k + v_ki\,\,\,(u_k,\,\,v_k\,は実数)$ を}
& w_k = (\sqrt{3} + i)z_k
\intertext{で定める.さらに $u_k,\,\,v_k$ から定まるベクトル}
& \vecu = (u_1,\,\,u_2,\,\,u_3),\quad
\vecv = (v_1,\,\,v_2,\,\,v_3)
\end{align*}
を考える.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\vecx$ の大きさを $r$,
$\vecy$ の大きさを $s$,
$\vecx$ と $\vecy$ のなす角を %
$\theta\,\,\,(0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ とするとき %
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2$ を $r,\,\,s,\,\,\theta$ で表せ.
\item
$\vecx$ と $\vecy$ の大きさが等しく,\smallskip
両者は互いに垂直であるとする.
このとき $\vecu$ と $\vecv$ も大きさが等しく,
互いに垂直であることを示せ.
\item
(2)の仮定のもとで,
$\vecx$ と $\vecu$ のなす角を求めよ.
\hfill (配点率35%)
\end{enumerate}
\end{document}