大阪大学 文系 2001年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2001年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ 二次関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} %\usepackage{myhyper} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 座標平面上の4点$\A(1,\,\,0),\,\,\B(2,\,\,0),\,\,\C(2,\,\,8),\,\, \D(1,\,\,8)$を頂点とする長方形を $R$ とする. また $0 < t < 4$ に対し, 原点$\O(0,\,\,0)$,点$\E(4,\,\,0)$, および点$\P(t,\,\,8t - 2t^2)$の3点を頂点とする三角形を $T(t)$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $R$ の内部と $T(t)$ の内部との共通部分の面積 $f(t)$ を求めよ. \item  $t$ が $0 < t < 4$ の範囲で動くとき, $f(t)$ を最大にする $t$ の値と, そのときの最大値を求めよ. \hfill (配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2001年度前期文系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 座標平面上の4点$\A(1,\,\,0),\,\,\B(2,\,\,0),\,\,\C(2,\,\,8),\,\, \D(1,\,\,8)$を頂点とする長方形を $R$ とする. また $0 < t < 4$ に対し, 原点$\O(0,\,\,0)$,点$\E(4,\,\,0)$, および点$\P(t,\,\,8t - 2t^2)$の3点を頂点とする三角形を $T(t)$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $R$ の内部と $T(t)$ の内部との共通部分の面積 $f(t)$ を求めよ. \item  $t$ が $0 < t < 4$ の範囲で動くとき, $f(t)$ を最大にする $t$ の値と, そのときの最大値を求めよ. \hfill (配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 空間のベクトル $\vecx = (x_1,\,\,x_2,\,\,x_3),\,\,\, \vecy = (y_1,\,\,y_2,\,\,y_3)$ を考える. ただし,どちらも零ベクトルではないとする. $k = 1,\,\,2,\,\,3$ に対し,複素数 \begin{align*} & z_k = x_k + y_ki \quad (i = \sqrt{-1}\,は虚数単位) \intertext{を考え,複素数 $w_k = u_k + v_ki\,\,\,(u_k,\,\,v_k\,は実数)$ を} & w_k = (\sqrt{3} + i)z_k \intertext{で定める.さらに $u_k,\,\,v_k$ から定まるベクトル} & \vecu = (u_1,\,\,u_2,\,\,u_3),\quad \vecv = (v_1,\,\,v_2,\,\,v_3) \end{align*} を考える. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\vecx$ の大きさを $r$, $\vecy$ の大きさを $s$, $\vecx$ と $\vecy$ のなす角を % $\theta\,\,\,(0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ とするとき % $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2$ を $r,\,\,s,\,\,\theta$ で表せ. \item  $\vecx$ と $\vecy$ の大きさが等しく,\smallskip 両者は互いに垂直であるとする. このとき $\vecu$ と $\vecv$ も大きさが等しく, 互いに垂直であることを示せ. \item  (2)の仮定のもとで, $\vecx$ と $\vecu$ のなす角を求めよ. \hfill (配点率35%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 各整数 $k$ に対し, 座標平面上の点 \begin{align*} \P_k\!\left(\frac{k}{500},\,\,0 \right),\quad \Q_k\!\left(\frac{k}{500},\,\,1 \right) \end{align*} をとり, 3点$\P_{k-1},\,\,\P_k,\,\,\Q_k$を頂点とする三角形 $T_k$ を考える. また,各自然数 $n$ に対し, \begin{align*} f_n (x) = 2 \times 10^{-nx} \end{align*} とおく. 曲線 $y = f_n(x)$ 上の動点Rが, 点$(0,\,\,2)$から出発して$x$座標が大きくなる方向に動くとき, 三角形 $T_k$ のうち, Rが最初にその内部を通過するものが $T_8$ となるような $n$ をすべて求めよ. ただし,$\log_{10}2 = 0.3010$ とする. \hfill (配点率35%) \end{document}