大阪大学 前期理系 2003年度 問1

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2003年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $a$ を正の実数, $w = a(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)$ とする. ただし,$i$は虚数単位である. また,複素数の列 $\{z_n\}$ を $z_1 = w,\,\,\,z_{n+1} = z_nw^{2n+1}\,\,\, (n = 1,\,\,2,\,\,\cdots)$ で定める. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $z_n$ が実数になるための必要十分条件は $n$ が6の倍数であることを示せ. \item  複素数平面で原点をOとし $z_n$ を表す点を$\P_n$とする. $1 \leqq n \leqq 17$ であるような $n$ について, $\triangle\O\P_n\P_{n+1}$が 直角二等辺三角形となるような $n$ と $a$ を求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \hfill ※ {\color[named]{OrangeRed} \bfseries 現在は出題範囲外} \vskip 1zw 以下,{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2003年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large\bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $a$ を正の実数, $w = a(\cos 5^\circ + i\sin 5^\circ)$ とする. ただし,$i$は虚数単位である. また,複素数の列 $\{z_n\}$ を $z_1 = w,\,\,\,z_{n+1} = z_nw^{2n+1}\,\,\, (n = 1,\,\,2,\,\,\cdots)$ で定める. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $z_n$ が実数になるための必要十分条件は $n$ が6の倍数であることを示せ. \item  複素数平面で原点をOとし $z_n$ を表す点を$\P_n$とする. $1 \leqq n \leqq 17$ であるような $n$ について, $\triangle\O\P_n\P_{n+1}$が 直角二等辺三角形となるような $n$ と $a$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large\bfseries \fbox{2}} \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $0 < t < 1$ のとき, 不等式 \[ \frac{\log t}{2} < -\frac{1 - t}{1 + t} \] が成り立つことを示せ. \item  $k$ を正の定数とする. $a > 0$ とし, 曲線 $C : y = e^{kx}$ 上の2点$\P(a,\,\,e^{ka}),\\ \Q(-a,\,\,e^{-ka})$を 考える.このときPにおける $C$ の接線とQにおける $C$ の接線の交点の$x$座標は 常に正であることを示せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f(x)$ を $x$ の整式とし, $\{a_k\}$ は $a_k < a_{k+1}\,\,\,(k=1,\,\,2,\,\,\cdots)$ および \\ $\lim\limits_{k \to \infty}a_k = \infty$ をみたす数列とする. このとき \begin{align*} f(a_k) = 0,\quad k = 1,\,\,2,\,\,\cdots \end{align*} ならば $f(x)$ は整式として0であることを示せ. \item  $f_1(x),\,\,f_2(x),\,\,f_3(x)$ を $x$ の整式とし \begin{align*} F(x) = f_1(x) + f_2(x)\sin x + f_3(x) \sin 2x \end{align*} はすべての実数 $x$ に対して0であるとする. このとき $f_1(x),\,\,f_2(x),\,\,f_3(x)$ は いずれも整式として0であることを示せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill {\color[named]{MidnightBlue}\ding{"2B} 次のページに続く.} %\vskip 1zw \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 数列 $\{a_n\}$ が $a_k < a_{k+1}\,\,\,(k=1,\,\,2,\,\,\cdots)$ および \begin{align*} a_{kl} = a_k + a_l,\quad k = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\quad l = 1,\,\,2,\,\,\cdots \end{align*} をみたすとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $k,\,\,l$ を2以上の自然数とする. 自然数 $n$ が与えられたとき \begin{align*} l^{m-1} \leqq k^n < l^m \end{align*} をみたす自然数 $m$ が存在することを示せ. \item  $k,\,\,l$ を2以上の自然数とするとき \begin{align*} -\frac{1}{n} < \frac{a_k}{a_l} - \frac{\log k}{\log l} < \frac{1}{n},\quad n = 1,\,\,2,\,\,\cdots \end{align*} が成り立つことを示せ. \item  $a_2 = a$ とするとき,数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  平面上において座標軸に平行な主軸(長軸,短軸)をもち, $x$軸,$y$軸の両方に接する楕円を考える. その中心の$x$座標を $a$ とする. このような楕円のうち点$\A(1,\,\,2)$を通るものが存在するための $a$ の範囲を 求めよ. ただし,円は楕円の特別な場合とみなすものとする. \item  (1)の楕円がちょうど2つ存在するような $a$ に対して, その2つの楕円の中心をB,Cとする. $\triangle\A\B\C$の面積を $S(a)$ で表すときこの関数のグラフを書け. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}