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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
後期理系 |
年度 |
1999年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
数列
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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実数 $x$ に対して,
$x$ を超えない最大の整数を $[\,x\,]$ で表す.\\
$a_m = [\,\sqrt{\vphantom{b} m}\,\,]\,\,\,(m=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ に対して,
数列 $b_1,\,\,b_2,\,\,b_3,\,\,\cdots$ を $b_1=0$,
$k \geqq 2$ のとき $a_m < k \leqq a_{m+1}$ となる $m$ に対して %
$b_k = m$ と定める.
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
数列 $\{b_k\}$ の一般項を求めよ.
\item
すべての自然数 $n$ に対して %
$\sum\limits_{m=1}^{n^2}a_m + \sum\limits_{k=1}^n b_k = n^3$ %
が成り立つことを示せ.
\item
$\sum\limits_{m=1}^{n^2}[\,\sqrt{\vphantom{b} m}\,\,]$ を求めよ.
\hfill (配点率30%)
\end{enumerate}
\end{document}