大阪大学 前期理系 1998年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1998年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 図形と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 座標平面において, $x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という. また,2つの格子点を結ぶ長さ1の線分から両端の点を除いたものを格子辺という. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点$\P(630,\,\,5400)$を通る直線 $y = ax\,\,\,(aは定数)$ は % $0 \leqq x \leqq 630$ の範囲で何個の格子辺と交わるか. \item  $n$ を2以上の整数とする. 点$\P(630,\,\,5400)$を通る曲線 $y = bx^n\,\,\,(bはnにより定まる定数)$ は % $0 \leqq x \leqq 630$ の範囲で何個の格子辺と交わるか. \begin{center} %\input{osaka98s1f_zu_2}% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 16.2000, 13.7100)( 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1872}% \special{pa 2100 882}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 2 3 0 % 2 2460 1871 2460 881 % \special{pn 8}% \special{pa 2460 1872}% \special{pa 2460 882}% \special{dt 0.045}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2460 1151 2460 1178 2460 1178 2460 1178 % \special{pn 8}% \special{ar 2460 1152 28 28 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 1740 1511 1740 1538 1740 1538 1740 1538 % \special{pn 8}% \special{ar 1740 1512 28 28 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2100 1511 2100 1538 2100 1538 2100 1538 % \special{pn 8}% \special{ar 2100 1512 28 28 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2460 1511 2460 1538 2460 1538 2460 1538 % \special{pn 8}% \special{ar 2460 1512 28 28 0.0000000 6.2831853}% % LINE 0 0 3 0 % 2 1767 1511 2073 1511 % \special{pn 20}% \special{pa 1768 1512}% \special{pa 2074 1512}% \special{fp}% % LINE 0 0 3 0 % 2 2460 1484 2460 1178 % \special{pn 20}% \special{pa 2460 1484}% \special{pa 2460 1178}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1767 2141 1767 2231 2 0 % {\scriptsize 格子辺の例} \put(17.6700,-22.3100){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 格子辺の例}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1260 1900 1260 1990 2 0 % {\footnotesize O} \put(12.6000,-19.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1290 1466 1290 1556 2 0 % {\footnotesize 1} \put(12.9000,-15.5600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1280 1110 1280 1200 2 0 % {\footnotesize 2} \put(12.8000,-12.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 2}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2064 1916 2064 2006 2 0 % {\footnotesize 2} \put(20.6400,-20.0600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 2}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1704 1916 1704 2006 2 0 % {\footnotesize 1} \put(17.0400,-20.0600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2424 1907 2424 1997 2 0 % {\footnotesize 3} \put(24.2400,-19.9700){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 3}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1250 770 1250 860 2 0 % $y$ \put(12.5000,-8.6000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2720 1900 2720 1990 2 0 % $x$ \put(27.2000,-19.9000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% \end{picture}% \end{center} \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries \sffamily 1998年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 座標平面において, $x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という. また,2つの格子点を結ぶ長さ1の線分から両端の点を除いたものを格子辺という. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点$\P(630,\,\,5400)$を通る直線 $y = ax\,\,\,(aは定数)$ は % $0 \leqq x \leqq 630$ の範囲で何個の格子辺と交わるか. \item  $n$ を2以上の整数とする. 点$\P(630,\,\,5400)$を通る曲線 $y = bx^n\,\,\,(bはnにより定まる定数)$ は % $0 \leqq x \leqq 630$ の範囲で何個の格子辺と交わるか. \begin{center} %\input{osaka98s1f_zu_2}% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 16.2000, 13.7100)( 12.0000,-20.6100) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1380 2051 1380 791 % \special{pn 8}% \special{pa 1380 2052}% \special{pa 1380 792}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1380 792}% \special{pa 1360 858}% \special{pa 1380 844}% \special{pa 1400 858}% \special{pa 1380 792}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1200 1871 2820 1871 % \special{pn 8}% \special{pa 1200 1872}% \special{pa 2820 1872}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2820 1872}% \special{pa 2754 1852}% \special{pa 2768 1872}% \special{pa 2754 1892}% \special{pa 2820 1872}% \special{fp}% % LINE 2 2 3 0 % 2 1380 1511 2730 1511 % \special{pn 8}% \special{pa 1380 1512}% \special{pa 2730 1512}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 2 3 0 % 2 1371 1142 2721 1142 % \special{pn 8}% \special{pa 1372 1142}% \special{pa 2722 1142}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 2 3 0 % 2 1740 1871 1740 881 % \special{pn 8}% \special{pa 1740 1872}% \special{pa 1740 882}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 2 3 0 % 2 2100 1871 2100 881 % \special{pn 8}% \special{pa 2100 1872}% \special{pa 2100 882}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 2 3 0 % 2 2460 1871 2460 881 % \special{pn 8}% \special{pa 2460 1872}% \special{pa 2460 882}% \special{dt 0.045}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2460 1151 2460 1178 2460 1178 2460 1178 % \special{pn 8}% \special{ar 2460 1152 28 28 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 1740 1511 1740 1538 1740 1538 1740 1538 % \special{pn 8}% \special{ar 1740 1512 28 28 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2100 1511 2100 1538 2100 1538 2100 1538 % \special{pn 8}% \special{ar 2100 1512 28 28 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2460 1511 2460 1538 2460 1538 2460 1538 % \special{pn 8}% \special{ar 2460 1512 28 28 0.0000000 6.2831853}% % LINE 0 0 3 0 % 2 1767 1511 2073 1511 % \special{pn 20}% \special{pa 1768 1512}% \special{pa 2074 1512}% \special{fp}% % LINE 0 0 3 0 % 2 2460 1484 2460 1178 % \special{pn 20}% \special{pa 2460 1484}% \special{pa 2460 1178}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1767 2141 1767 2231 2 0 % {\scriptsize 格子辺の例} \put(17.6700,-22.3100){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize 格子辺の例}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1260 1900 1260 1990 2 0 % {\footnotesize O} \put(12.6000,-19.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1290 1466 1290 1556 2 0 % {\footnotesize 1} \put(12.9000,-15.5600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1280 1110 1280 1200 2 0 % {\footnotesize 2} \put(12.8000,-12.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 2}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2064 1916 2064 2006 2 0 % {\footnotesize 2} \put(20.6400,-20.0600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 2}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1704 1916 1704 2006 2 0 % {\footnotesize 1} \put(17.0400,-20.0600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 1}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2424 1907 2424 1997 2 0 % {\footnotesize 3} \put(24.2400,-19.9700){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize 3}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1250 770 1250 860 2 0 % $y$ \put(12.5000,-8.6000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2720 1900 2720 1990 2 0 % $x$ \put(27.2000,-19.9000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% \end{picture}% \end{center} \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm $n$ を1以上の整数とする. $n$次の整式 \begin{align*} f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \cdots + a_kx^{n-k} + \cdots + a_{n-1}x + a_n \end{align*} とその導関数 $f'(x)$ の間に \begin{align*} nf(x) = (x+p)f'(x) \end{align*} という関係があるとする. ただし,$p$ は定数である.このとき \begin{align*} f(x) = a_0(x+p)^n \end{align*} であることを示せ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a$ を1より大きい実数とする. 0以上の任意の実数 $x$ に対して次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \log 2 + \frac{x}{2}\log a \leqq \log(1 + a^x) \leqq \log 2 + \frac{x}{2}\log a + \frac{x^2}{8}(\log a)^2 \] ただし,対数は自然対数である. \item  $n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots$ に対して,\smallskip% $a_n = \left(\dfrac{1 + \sqrt[n]{\vphantom{b} 3}}{2} \right)^{\!\! n}$ とおく. (1)の不等式を用いて極限 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 2.5mm \noindent \begin{minipage}{290pt}  平面上において, 7点A,P,Q,R,S,$\R'$,$\S'$を右図のようにとる. ただし,\\ \hspace{-2zw} \parbox{200pt}{ \begin{align*} & \A\P = a,\quad \P\Q = b,\quad \Q\R = \Q\R' = c,\quad \R\S = \R'\S' = d \\ & \angle\A\P\Q = \angle\S\R\Q = \angle\S'\R'\Q = \alpha \quad (0 \leqq \alpha \leqq \pi) \\ & \angle\R\Q\P = \angle\P\Q\R' = \beta \quad (0 \leqq \beta \leqq \pi) \end{align*} } \noindent である.このとき, $\A\S^2 - \A\S'$ を $\sin\alpha,\,\,\sin\beta$ および $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ を用いて表せ. \hfill(配点率20%) \end{minipage} \begin{minipage}{150pt} \vspace*{-1zw}\hspace*{1zw} %\input{osaka98s4f_zu_4} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 17.9000, 17.0400)( 6.1000,-21.8400) % LINE 1 0 3 0 % 4 1543 1353 816 1868 816 1868 1338 2184 % \special{pn 13}% \special{pa 1544 1354}% \special{pa 816 1868}% \special{fp}% \special{pa 816 1868}% \special{pa 1338 2184}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 4 1543 1353 2327 1774 2327 1774 2377 1167 % \special{pn 13}% \special{pa 1544 1354}% \special{pa 2328 1774}% \special{fp}% \special{pa 2328 1774}% \special{pa 2378 1168}% \special{fp}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 1509 1339 1579 1298 1609 1073 1363 1551 % \special{pn 4}% \special{ar 1510 1340 82 82 2.1738840 5.0719834}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 1509 1339 1559 1303 1611 1154 1350 1653 % \special{pn 4}% \special{ar 1510 1340 62 62 2.0395265 5.2162691}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 1473 753 1522 718 1198 733 1608 963 % \special{pn 4}% \special{ar 1474 754 60 60 0.9994588 3.2141921}% % POLYLINE 1 0 3 0 % 4 1543 1353 1502 706 1030 938 1030 938 % \special{pn 13}% \special{pa 1544 1354}% \special{pa 1502 706}% \special{pa 1030 938}% \special{pa 1030 938}% \special{fp}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 876 1865 935 1853 964 2054 1010 1540 % \special{pn 4}% \special{ar 876 1866 60 60 5.1034602 6.2831853}% \special{ar 876 1866 60 60 0.0000000 1.1350385}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 1575 1334 1520 1305 1771 1627 1451 1163 % \special{pn 4}% \special{ar 1576 1334 62 62 4.0849850 6.2831853}% \special{ar 1576 1334 62 62 0.0000000 0.9812202}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 1575 1334 1500 1303 1746 1528 1443 1083 % \special{pn 4}% \special{ar 1576 1334 82 82 4.2282395 6.2831853}% \special{ar 1576 1334 82 82 0.0000000 0.8483287}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2296 1724 2333 1677 2439 1553 1979 1719 % \special{pn 4}% \special{ar 2296 1724 60 60 3.1573642 5.4088504}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1547 1358 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1548 1358 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1504 708 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1504 708 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1032 940 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1032 940 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 814 1871 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 814 1872 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1328 2179 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1328 2180 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2330 1780 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2330 1780 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2373 1179 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2374 1180 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 1490 1430 1490 1530 2 0 % {\footnotesize Q} \put(14.9000,-15.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize Q}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1470 550 1470 650 2 0 % {\footnotesize P} \put(14.7000,-6.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize P}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 880 930 880 1030 2 0 % {\footnotesize A} \put(8.8000,-10.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 610 1830 610 1930 2 0 % {\footnotesize $\R'$} \put(6.1000,-19.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $\R'$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1380 2170 1380 2270 2 0 % {\footnotesize $\S'$} \put(13.8000,-22.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $\S'$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2340 1030 2340 1130 2 0 % {\footnotesize S} \put(23.4000,-11.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize S}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2290 1840 2290 1940 2 0 % {\footnotesize R} \put(22.9000,-19.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize R}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1370 800 1370 900 2 0 % {\footnotesize $\alpha$} \put(13.7000,-9.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $\alpha$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 980 1790 980 1890 2 0 % {\footnotesize $\alpha$} \put(9.8000,-18.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $\alpha$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2200 1530 2200 1630 2 0 % {\footnotesize $\alpha$} \put(22.0000,-16.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $\alpha$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1690 1210 1690 1310 2 0 % {\footnotesize $\beta$} \put(16.9000,-13.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $\beta$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1310 1250 1310 1350 2 0 % {\footnotesize $\beta$} \put(13.1000,-13.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $\beta$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1200 680 1200 780 2 0 % {\footnotesize $a$} \put(12.0000,-7.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $a$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1580 1000 1580 1100 2 0 % {\footnotesize $b$} \put(15.8000,-11.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $b$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1180 1620 1180 1720 2 0 % {\footnotesize $c$} \put(11.8000,-17.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $c$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1910 1600 1910 1700 2 0 % {\footnotesize $c$} \put(19.1000,-17.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $c$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 960 2080 960 2180 2 0 % {\footnotesize $d$} \put(9.6000,-21.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $d$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2400 1440 2400 1540 2 0 % {\footnotesize $d$} \put(24.0000,-15.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize $d$}}}% \end{picture}% \end{minipage} \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 座標空間において \quad% 平面 $z = \sqrt{\vphantom{b} 2}$ 上にある半径$\sqrt{\vphantom{b} 2}$, 中心$(0,\,\,0,\,\,\sqrt{\vphantom{b} 2}\,)$の円を $C_1$ \quad% 平面 $z = -\sqrt{\vphantom{b} 2}$ 上にある半径$\sqrt{\vphantom{b} 2}$, 中心$(0,\,\,0,\,\,-\sqrt{\vphantom{b} 2}\,)$の円を $C_2$ \noindent% とする. また, 空間内の点$\P(x,\,\,y,\,\,z)$に対し \quad% 円 $C_1$ 上を動く点QとPの距離の最小値を $m$ \quad% 円 $C_2$ 上を動く点RとPの距離の最大値を $M$ \noindent% とする. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $r = \sqrt{\vphantom{b} x^2 + y^2}$ とおくとき, $m$ と $M$ を $r$ および $z$ で表せ. \item  $\zettaiti{M - 2\sqrt{\vphantom{b} 6}} \geqq m$ という条件を満たす点Pの 範囲を $H$ とする. 図形 $H$ の体積を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}