すうじあむ

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{delarray} \usepackage{graphicx} %\usepackage{myhyper} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{flushleft} {\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題} \end{flushleft} $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とし， $p,\,\,q$ を実数とする．\smallskip 自然数 $n$ に対して行列 % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$ を % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} = A^{2n} + pA^n + qE$ で定める．\smallskip このとき次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$n = 2m\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき， $A^n = (-1)^m E$ および $b_n = 0$ が成り立つことを示せ． \item 　$n = 2m + 1\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき， $A^n = (-1)^mA$ および $b_n = (-1)^m p$ が成り立つことを示せ． \end{enumerate} 次に， 実数 $r > 1$ に対して $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a_n}{r^n} = \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{b_n}{r^n} = 0$ \smallskip% が成り立つような $p,\,\,q$ の値をそれぞれ $p(r),\,\,q(r)$ とする． \begin{enumerate} \item[(3)] 　$p(r) = 0$ を示せ． \item[(4)] 　$q(r)$ を $r$ を用いて表せ． \item[(5)] 　$\lim\limits_{n \to \infty} n\{q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdotss q(2n)\}$ を求めよ． \hfill(配点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下， {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1997年度後期理系}の全問題を挙げる． \newpage \begin{flushleft} {\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題} \end{flushleft} \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とし， $p,\,\,q$ を実数とする．\smallskip 自然数 $n$ に対して行列 % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$ を % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} = A^{2n} + pA^n + qE$ で定める．\smallskip このとき次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$n = 2m\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき， $A^n = (-1)^m E$ および $b_n = 0$ が成り立つことを示せ． \item 　$n = 2m + 1\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき， $A^n = (-1)^mA$ および $b_n = (-1)^m p$ が成り立つことを示せ． \end{enumerate} 次に， 実数 $r > 1$ に対して $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a_n}{r^n} = \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{b_n}{r^n} = 0$ \smallskip% が成り立つような $p,\,\,q$ の値をそれぞれ $p(r),\,\,q(r)$ とする． \begin{enumerate} \item[(3)] 　$p(r) = 0$ を示せ． \item[(4)] 　$q(r)$ を $r$ を用いて表せ． \item[(5)] 　$\lim\limits_{n \to \infty} n\{q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdotss q(2n)\}$ を求めよ． \hfill(配点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 自然数 $n$ に対して， 関数 $f_n(x) = x^ne^{1-x}$ と，その定積分 % \smallskip$\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ を考える． ただし，$e$ は自然対数の底である． 次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　区間 $0 \leqq x \leqq 1$ 上で $0 \leqq f_n(x) \leqq 1$ であることを示し， さらに $0 < a_n < 1$ が成り立つことを示せ． \item 　$a_1$ を求めよ． $n > 1$ に対して， $a_n$ と $a_{n-1}$ の間の漸化式を求めよ． \item 　自然数 $n$ に対して， 等式 \[ \frac{a_n}{n!} = e - \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ． \item 　いかなる自然数 $n$ に対しても， $n!e$ は整数とならないことを示せ．\\ \hfill(配点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $\bekutoru{$x_1$} = (1,\,\,0),\,\,\, \bekutoru{$x_2$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \bekutoru{$x_3$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,-\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \veco = (0,\,\,0)$ とおく．\smallskip 3つのベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ の中から等確率\smallskip$\dfrac{1}{3}$で1つのベクトルを 取り出す試行を$n$回繰り返す． ただし，\smallskip 各試行は互いに無関係に行われるものとする． このときベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ が取り出された回数をそれぞれ $n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ と する$(n_1 + n_2 + n_3 = n)$． 次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$a,\,\,b,\,\,c$ を実数とする． このとき $a\bekutoru{$x_1$} + b\bekutoru{$x_2$} + c\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となるための必要十分条件は $a = b = c$ であることを証明せよ． \item 　$n = 3m\,\,\,(mは自然数)$ のとき， $n_1\bekutoru{$x_1$} + n_2\bekutoru{$x_2$} + n_3\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となる確率を $P_m$ とする． \smallskip \begin{enumerate} \item[](イ) 　$P_1$ を求めよ． \smallskip \item[](ロ) 　一般に，自然数 $m$ に対して， $P_m$ を求めよ． \end{enumerate} \item 　$m > 1$ に対して， \[ P_m < \frac{m}{m + 1}P_{m-1} \] であることを示せ． さらに，$\lim\limits_{m \to \infty} P_m = 0$ を示せ． \hfill(配点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \begin{flushleft} {\color[named]{RoyalPurple}\bfseries 工学部，基礎工学部受験者用問題} \end{flushleft} \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 行列 \smallskip$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と自然数 $n$ に対して， 行列 $X_n$ を \\ $X_n = A^{2n} + A^n + E$ で定義する． 次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$A^2,\,\,A^3,\,\,A^4$ を $A$ と $E$ で表せ． \item 　自然数 $n$ に対して， $X_{n+4} = X_n$ であることを示せ． \item 　$0 < r < 1$ として， 自然数 $k$ に対して \[ \begin{pmatrix} s_k & t_k \\ u_k & v_k \end{pmatrix} = rX_1 + r^2X_2 + r^3X_3 + r^4X_4 + \cdots + r^{4k}X_{4k} \] と定める．$s_k,\,\,t_k$ を求めよ． さらに極限値 $\lim\limits_{k \to \infty} s_k$ を求めよ． \hfill(配点率30％) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 自然数 $n$ に対して， 関数 $f_n(x) = x^ne^{1-x}$ と，その定積分 % \smallskip$\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ を考える． ただし，$e$ は自然対数の底である． 次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　区間 $0 \leqq x \leqq 1$ 上で $0 \leqq f_n(x) \leqq 1$ であることを示し， さらに $0 < a_n < 1$ が成り立つことを示せ． \item 　$a_1$ を求めよ． $n > 1$ に対して， $a_n$ と $a_{n-1}$ の間の漸化式を求めよ． \item 　自然数 $n$ に対して， 等式 \[ \frac{a_n}{n!} = e - \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ． \item 　いかなる自然数 $n$ に対しても， $n!e$ は整数とならないことを示せ．\\ \hfill(配点率40％) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $\bekutoru{$x_1$} = (1,\,\,0),\,\,\, \bekutoru{$x_2$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \bekutoru{$x_3$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,-\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \veco = (0,\,\,0)$ とおく．\smallskip 3つのベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ の中から等確率\smallskip$\dfrac{1}{3}$で1つのベクトルを 取り出す試行を$n$回繰り返す． ただし，\smallskip 各試行は互いに無関係に行われるものとする． このときベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ が取り出された回数をそれぞれ $n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ と する$(n_1 + n_2 + n_3 = n)$． 次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$a,\,\,b,\,\,c$ を実数とする． このとき $a\bekutoru{$x_1$} + b\bekutoru{$x_2$} + c\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となるための必要十分条件は $a = b = c$ であることを証明せよ． \item 　$n = 3m\,\,\,(mは自然数)$ のとき， $n_1\bekutoru{$x_1$} + n_2\bekutoru{$x_2$} + n_3\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となる確率を $P_m$ とする． \smallskip \begin{enumerate} \item[](イ) 　$P_1$ を求めよ． \smallskip \item[](ロ) 　一般に，自然数 $m$ に対して， $P_m$ を求めよ． \end{enumerate} \item 　$m > 1$ に対して， \[ P_m < \frac{m}{m + 1}P_{m-1} \] であることを示せ． さらに，$\lim\limits_{m \to \infty} P_m = 0$ を示せ． \hfill(配点率30％) \end{enumerate} \end{document}