大阪大学 後期理系 1997年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 1997年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{delarray} \usepackage{graphicx} %\usepackage{myhyper} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{flushleft} {\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題} \end{flushleft} $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とし, $p,\,\,q$ を実数とする.\smallskip 自然数 $n$ に対して行列 % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$ を % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} = A^{2n} + pA^n + qE$ で定める.\smallskip このとき次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n = 2m\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき, $A^n = (-1)^m E$ および $b_n = 0$ が成り立つことを示せ. \item  $n = 2m + 1\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき, $A^n = (-1)^mA$ および $b_n = (-1)^m p$ が成り立つことを示せ. \end{enumerate} 次に, 実数 $r > 1$ に対して $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a_n}{r^n} = \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{b_n}{r^n} = 0$ \smallskip% が成り立つような $p,\,\,q$ の値をそれぞれ $p(r),\,\,q(r)$ とする. \begin{enumerate} \item[(3)]  $p(r) = 0$ を示せ. \item[(4)]  $q(r)$ を $r$ を用いて表せ. \item[(5)]  $\lim\limits_{n \to \infty} n\{q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdotss q(2n)\}$ を求めよ. \hfill(配点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1997年度後期理系}の全問題を挙げる. \newpage \begin{flushleft} {\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題} \end{flushleft} \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とし, $p,\,\,q$ を実数とする.\smallskip 自然数 $n$ に対して行列 % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$ を % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} = A^{2n} + pA^n + qE$ で定める.\smallskip このとき次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n = 2m\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき, $A^n = (-1)^m E$ および $b_n = 0$ が成り立つことを示せ. \item  $n = 2m + 1\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき, $A^n = (-1)^mA$ および $b_n = (-1)^m p$ が成り立つことを示せ. \end{enumerate} 次に, 実数 $r > 1$ に対して $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a_n}{r^n} = \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{b_n}{r^n} = 0$ \smallskip% が成り立つような $p,\,\,q$ の値をそれぞれ $p(r),\,\,q(r)$ とする. \begin{enumerate} \item[(3)]  $p(r) = 0$ を示せ. \item[(4)]  $q(r)$ を $r$ を用いて表せ. \item[(5)]  $\lim\limits_{n \to \infty} n\{q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdotss q(2n)\}$ を求めよ. \hfill(配点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 自然数 $n$ に対して, 関数 $f_n(x) = x^ne^{1-x}$ と,その定積分 % \smallskip$\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ を考える. ただし,$e$ は自然対数の底である. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  区間 $0 \leqq x \leqq 1$ 上で $0 \leqq f_n(x) \leqq 1$ であることを示し, さらに $0 < a_n < 1$ が成り立つことを示せ. \item  $a_1$ を求めよ. $n > 1$ に対して, $a_n$ と $a_{n-1}$ の間の漸化式を求めよ. \item  自然数 $n$ に対して, 等式 \[ \frac{a_n}{n!} = e - \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ. \item  いかなる自然数 $n$ に対しても, $n!e$ は整数とならないことを示せ.\\ \hfill(配点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $\bekutoru{$x_1$} = (1,\,\,0),\,\,\, \bekutoru{$x_2$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \bekutoru{$x_3$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,-\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \veco = (0,\,\,0)$ とおく.\smallskip 3つのベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ の中から等確率\smallskip$\dfrac{1}{3}$で1つのベクトルを 取り出す試行を$n$回繰り返す. ただし,\smallskip 各試行は互いに無関係に行われるものとする. このときベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ が取り出された回数をそれぞれ $n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ と する$(n_1 + n_2 + n_3 = n)$. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a,\,\,b,\,\,c$ を実数とする. このとき $a\bekutoru{$x_1$} + b\bekutoru{$x_2$} + c\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となるための必要十分条件は $a = b = c$ であることを証明せよ. \item  $n = 3m\,\,\,(mは自然数)$ のとき, $n_1\bekutoru{$x_1$} + n_2\bekutoru{$x_2$} + n_3\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となる確率を $P_m$ とする. \smallskip \begin{enumerate} \item[](イ)  $P_1$ を求めよ. \smallskip \item[](ロ)  一般に,自然数 $m$ に対して, $P_m$ を求めよ. \end{enumerate} \item  $m > 1$ に対して, \[ P_m < \frac{m}{m + 1}P_{m-1} \] であることを示せ. さらに,$\lim\limits_{m \to \infty} P_m = 0$ を示せ. \hfill(配点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \begin{flushleft} {\color[named]{RoyalPurple}\bfseries 工学部,基礎工学部受験者用問題} \end{flushleft} \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 行列 \smallskip$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と自然数 $n$ に対して, 行列 $X_n$ を \\ $X_n = A^{2n} + A^n + E$ で定義する. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $A^2,\,\,A^3,\,\,A^4$ を $A$ と $E$ で表せ. \item  自然数 $n$ に対して, $X_{n+4} = X_n$ であることを示せ. \item  $0 < r < 1$ として, 自然数 $k$ に対して \[ \begin{pmatrix} s_k & t_k \\ u_k & v_k \end{pmatrix} = rX_1 + r^2X_2 + r^3X_3 + r^4X_4 + \cdots + r^{4k}X_{4k} \] と定める.$s_k,\,\,t_k$ を求めよ. さらに極限値 $\lim\limits_{k \to \infty} s_k$ を求めよ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 自然数 $n$ に対して, 関数 $f_n(x) = x^ne^{1-x}$ と,その定積分 % \smallskip$\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ を考える. ただし,$e$ は自然対数の底である. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  区間 $0 \leqq x \leqq 1$ 上で $0 \leqq f_n(x) \leqq 1$ であることを示し, さらに $0 < a_n < 1$ が成り立つことを示せ. \item  $a_1$ を求めよ. $n > 1$ に対して, $a_n$ と $a_{n-1}$ の間の漸化式を求めよ. \item  自然数 $n$ に対して, 等式 \[ \frac{a_n}{n!} = e - \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ. \item  いかなる自然数 $n$ に対しても, $n!e$ は整数とならないことを示せ.\\ \hfill(配点率40%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $\bekutoru{$x_1$} = (1,\,\,0),\,\,\, \bekutoru{$x_2$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \bekutoru{$x_3$} = \left(-\dfrac{1}{2},\,\,-\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\, \veco = (0,\,\,0)$ とおく.\smallskip 3つのベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ の中から等確率\smallskip$\dfrac{1}{3}$で1つのベクトルを 取り出す試行を$n$回繰り返す. ただし,\smallskip 各試行は互いに無関係に行われるものとする. このときベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\, \bekutoru{$x_3$}$ が取り出された回数をそれぞれ $n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ と する$(n_1 + n_2 + n_3 = n)$. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a,\,\,b,\,\,c$ を実数とする. このとき $a\bekutoru{$x_1$} + b\bekutoru{$x_2$} + c\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となるための必要十分条件は $a = b = c$ であることを証明せよ. \item  $n = 3m\,\,\,(mは自然数)$ のとき, $n_1\bekutoru{$x_1$} + n_2\bekutoru{$x_2$} + n_3\bekutoru{$x_3$} = \veco$ となる確率を $P_m$ とする. \smallskip \begin{enumerate} \item[](イ)  $P_1$ を求めよ. \smallskip \item[](ロ)  一般に,自然数 $m$ に対して, $P_m$ を求めよ. \end{enumerate} \item  $m > 1$ に対して, \[ P_m < \frac{m}{m + 1}P_{m-1} \] であることを示せ. さらに,$\lim\limits_{m \to \infty} P_m = 0$ を示せ. \hfill(配点率30%) \end{enumerate} \end{document}