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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
後期理系 |
年度 |
1997年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
関数と極限 ・ 行列と連立一次方程式
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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\begin{flushleft}
{\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題}
\end{flushleft}
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\,
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とし,
$p,\,\,q$ を実数とする.\smallskip
自然数 $n$ に対して行列 %
$\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$ を %
$\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}
= A^{2n} + pA^n + qE$ で定める.\smallskip
このとき次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$n = 2m\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき,
$A^n = (-1)^m E$ および $b_n = 0$ が成り立つことを示せ.
\item
$n = 2m + 1\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき,
$A^n = (-1)^mA$ および $b_n = (-1)^m p$ が成り立つことを示せ.
\end{enumerate}
次に,
実数 $r > 1$ に対して $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a_n}{r^n}
= \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{b_n}{r^n} = 0$ \smallskip%
が成り立つような $p,\,\,q$ の値をそれぞれ $p(r),\,\,q(r)$ とする.
\begin{enumerate}
\item[(3)]
$p(r) = 0$ を示せ.
\item[(4)]
$q(r)$ を $r$ を用いて表せ.
\item[(5)]
$\lim\limits_{n \to \infty} n\{q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdotss
q(2n)\}$ を求めよ.
\hfill(配点50点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1997年度後期理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\begin{flushleft}
{\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題}
\end{flushleft}
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\,
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とし,
$p,\,\,q$ を実数とする.\smallskip
自然数 $n$ に対して行列 %
$\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$ を %
$\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}
= A^{2n} + pA^n + qE$ で定める.\smallskip
このとき次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$n = 2m\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき,
$A^n = (-1)^m E$ および $b_n = 0$ が成り立つことを示せ.
\item
$n = 2m + 1\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき,
$A^n = (-1)^mA$ および $b_n = (-1)^m p$ が成り立つことを示せ.
\end{enumerate}
次に,
実数 $r > 1$ に対して $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a_n}{r^n}
= \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{b_n}{r^n} = 0$ \smallskip%
が成り立つような $p,\,\,q$ の値をそれぞれ $p(r),\,\,q(r)$ とする.
\begin{enumerate}
\item[(3)]
$p(r) = 0$ を示せ.
\item[(4)]
$q(r)$ を $r$ を用いて表せ.
\item[(5)]
$\lim\limits_{n \to \infty} n\{q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdotss
q(2n)\}$ を求めよ.
\hfill(配点50点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
自然数 $n$ に対して,
関数 $f_n(x) = x^ne^{1-x}$ と,その定積分 %
\smallskip$\displaystyle
a_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ を考える.
ただし,$e$ は自然対数の底である.
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
区間 $0 \leqq x \leqq 1$ 上で $0 \leqq f_n(x) \leqq 1$ であることを示し,
さらに $0 < a_n < 1$ が成り立つことを示せ.
\item
$a_1$ を求めよ.
$n > 1$ に対して,
$a_n$ と $a_{n-1}$ の間の漸化式を求めよ.
\item
自然数 $n$ に対して,
等式
\[
\frac{a_n}{n!}
= e - \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)
\]
が成り立つことを証明せよ.
\item
いかなる自然数 $n$ に対しても,
$n!e$ は整数とならないことを示せ.\\
\hfill(配点50点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$\bekutoru{$x_1$} = (1,\,\,0),\,\,\,
\bekutoru{$x_2$}
= \left(-\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\,
\bekutoru{$x_3$}
= \left(-\dfrac{1}{2},\,\,-\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\,
\veco = (0,\,\,0)$ とおく.\smallskip
3つのベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\,
\bekutoru{$x_3$}$ の中から等確率\smallskip$\dfrac{1}{3}$で1つのベクトルを
取り出す試行を$n$回繰り返す.
ただし,\smallskip
各試行は互いに無関係に行われるものとする.
このときベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\,
\bekutoru{$x_3$}$ が取り出された回数をそれぞれ $n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ と
する$(n_1 + n_2 + n_3 = n)$.
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a,\,\,b,\,\,c$ を実数とする.
このとき $a\bekutoru{$x_1$} + b\bekutoru{$x_2$} + c\bekutoru{$x_3$}
= \veco$ となるための必要十分条件は $a = b = c$ であることを証明せよ.
\item
$n = 3m\,\,\,(mは自然数)$ のとき,
$n_1\bekutoru{$x_1$} + n_2\bekutoru{$x_2$} + n_3\bekutoru{$x_3$}
= \veco$ となる確率を $P_m$ とする.
\smallskip
\begin{enumerate}
\item[](イ)
$P_1$ を求めよ.
\smallskip
\item[](ロ)
一般に,自然数 $m$ に対して,
$P_m$ を求めよ.
\end{enumerate}
\item
$m > 1$ に対して,
\[
P_m < \frac{m}{m + 1}P_{m-1}
\]
であることを示せ.
さらに,$\lim\limits_{m \to \infty} P_m = 0$ を示せ.
\hfill(配点50点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\begin{flushleft}
{\color[named]{RoyalPurple}\bfseries 工学部,基礎工学部受験者用問題}
\end{flushleft}
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
行列 \smallskip$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\,
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と自然数 $n$ に対して,
行列 $X_n$ を \\
$X_n = A^{2n} + A^n + E$ で定義する.
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A^2,\,\,A^3,\,\,A^4$ を $A$ と $E$ で表せ.
\item
自然数 $n$ に対して,
$X_{n+4} = X_n$ であることを示せ.
\item
$0 < r < 1$ として,
自然数 $k$ に対して
\[
\begin{pmatrix} s_k & t_k \\ u_k & v_k \end{pmatrix}
= rX_1 + r^2X_2 + r^3X_3 + r^4X_4 + \cdots
+ r^{4k}X_{4k}
\]
と定める.$s_k,\,\,t_k$ を求めよ.
さらに極限値 $\lim\limits_{k \to \infty} s_k$ を求めよ.
\hfill(配点率30%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
自然数 $n$ に対して,
関数 $f_n(x) = x^ne^{1-x}$ と,その定積分 %
\smallskip$\displaystyle
a_n = \int_0^1 f_n(x)\,dx$ を考える.
ただし,$e$ は自然対数の底である.
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
区間 $0 \leqq x \leqq 1$ 上で $0 \leqq f_n(x) \leqq 1$ であることを示し,
さらに $0 < a_n < 1$ が成り立つことを示せ.
\item
$a_1$ を求めよ.
$n > 1$ に対して,
$a_n$ と $a_{n-1}$ の間の漸化式を求めよ.
\item
自然数 $n$ に対して,
等式
\[
\frac{a_n}{n!}
= e - \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)
\]
が成り立つことを証明せよ.
\item
いかなる自然数 $n$ に対しても,
$n!e$ は整数とならないことを示せ.\\
\hfill(配点率40%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$\bekutoru{$x_1$} = (1,\,\,0),\,\,\,
\bekutoru{$x_2$}
= \left(-\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\,
\bekutoru{$x_3$}
= \left(-\dfrac{1}{2},\,\,-\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2} \right),\,\,\,
\veco = (0,\,\,0)$ とおく.\smallskip
3つのベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\,
\bekutoru{$x_3$}$ の中から等確率\smallskip$\dfrac{1}{3}$で1つのベクトルを
取り出す試行を$n$回繰り返す.
ただし,\smallskip
各試行は互いに無関係に行われるものとする.
このときベクトル $\bekutoru{$x_1$},\,\,\bekutoru{$x_2$},\,\,
\bekutoru{$x_3$}$ が取り出された回数をそれぞれ $n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ と
する$(n_1 + n_2 + n_3 = n)$.
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a,\,\,b,\,\,c$ を実数とする.
このとき $a\bekutoru{$x_1$} + b\bekutoru{$x_2$} + c\bekutoru{$x_3$}
= \veco$ となるための必要十分条件は $a = b = c$ であることを証明せよ.
\item
$n = 3m\,\,\,(mは自然数)$ のとき,
$n_1\bekutoru{$x_1$} + n_2\bekutoru{$x_2$} + n_3\bekutoru{$x_3$}
= \veco$ となる確率を $P_m$ とする.
\smallskip
\begin{enumerate}
\item[](イ)
$P_1$ を求めよ.
\smallskip
\item[](ロ)
一般に,自然数 $m$ に対して,
$P_m$ を求めよ.
\end{enumerate}
\item
$m > 1$ に対して,
\[
P_m < \frac{m}{m + 1}P_{m-1}
\]
であることを示せ.
さらに,$\lim\limits_{m \to \infty} P_m = 0$ を示せ.
\hfill(配点率30%)
\end{enumerate}
\end{document}