大阪大学 前期理系 2004年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2004年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $n$ を自然数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n$個の複素数 $z_k\,\,\,(k = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n)$ が \begin{align*} 0 \leqq \arg z_k \leqq \frac{\pi}{2} \end{align*} をみたすならば,不等式 \begin{align*} \zettaiti{z_1}^2 + \zettaiti{z_2}^2 + \cdots + \zettaiti{z_n}^2 \leqq \zettaiti{z_1 + z_2 + \cdots + z_n}^2 \end{align*} が成り立つことを示せ. \item  $n$個の実数 $\pphi_k\,\,\,(k=1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n)$ が \begin{align*} 0 \leqq \pphi_k \leqq \frac{\pi}{2} \quad かつ \quad \cos\pphi_1 + \cos\pphi_2 + \cdots + \cos\pphi_n = 1 \end{align*} をみたすならば,不等式 \begin{align*} \sqrt{\vphantom{b} n-1} \leqq \sin\pphi_1 + \sin\pphi_2 + \cdots + \sin\pphi_n \end{align*} が成り立つことを示せ. \hfill (配点率20%) \end{enumerate} \hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\bfseries 現在は出題範囲外} \vskip 1zw 以下,{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2004年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $n$ を自然数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n$個の複素数 $z_k\,\,\,(k = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n)$ が \begin{align*} 0 \leqq \arg z_k \leqq \frac{\pi}{2} \end{align*} をみたすならば,不等式 \begin{align*} \zettaiti{z_1}^2 + \zettaiti{z_2}^2 + \cdots + \zettaiti{z_n}^2 \leqq \zettaiti{z_1 + z_2 + \cdots + z_n}^2 \end{align*} が成り立つことを示せ. \item  $n$個の実数 $\pphi_k\,\,\,(k=1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n)$ が \begin{align*} 0 \leqq \pphi_k \leqq \frac{\pi}{2} \quad かつ \quad \cos\pphi_1 + \cos\pphi_2 + \cdots + \cos\pphi_n = 1 \end{align*} をみたすならば,不等式 \begin{align*} \sqrt{\vphantom{b} n-1} \leqq \sin\pphi_1 + \sin\pphi_2 + \cdots + \sin\pphi_n \end{align*} が成り立つことを示せ. \hfill (配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 素数 $p,\,\,q$ に対して \begin{align*} a_n = p^n - 4(-q)^n \quad (n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots) \end{align*} によって整数 $a_n$ を定める. ただし,$p > 2q$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_1$ と $a_2$ が1より大きい公約数 $m$ をもつならば, $m = 3$ であることを示せ. \item  $a_n$ がすべて3の倍数であるような $p,\,\,q$ のうちで積 $pq$ が最小となるものを求めよ. \hfill (配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $n$ を3以上の自然数とする. 点Oを中心とする半径1の円において, 円周を$n$等分する点$\P_0,\,\,\P_1,\,\,\cdots,\,\,\P_{n-1}$を時計回りにとる. 各 $i = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n$ に対して,直線$\O\P_{i-1},\,\,\O\P_i$とそれぞれ点$\P_{i-1},\,\,\P_i$で接するような放物線を $C_i$ とする. ただし,$\P_n = \P_0$ とする. 放物線 $C_1,\,\,C_2,\,\,\cdots,\,\,C_n$ によって囲まれる部分の面積を $S_n$ とするとき, $\lim\limits_{n \to \infty} S_n$を求めよ. \hfill (配点率20%) \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 実数 $a,\,\,r$ に対し数列 $\{a_n\}$ を \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \smallskip x_1 = a \\ x_{n+1} = rx_n(1 - x_n) \end{array} \right. \end{align*} で定める. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  すべての $n$ について $x_n = a$ となるような $a$ を求めよ. \item  $x_2 \neq a,\,\,\,x_3 = a$ となるような $a$ の個数を求めよ. \item  $0 \leqq a \leqq 1$ となるすべての $a$ について $0 \leqq x_n \leqq 1\,\,\, (n = 2,\,\,3,\,\,4,\,\,\cdots)$ が成り立つような $r$ の範囲を求めよ. \hfill (配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 座標平面上に直線 $l : x\sin\theta + y\cos\theta = 1\,\,\, \left(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right)$ がある.\smallskip \\ 不等式 $x \geqq 0,\,\,\,y \geqq 0,\,\,\,x\sin\theta + y\cos\theta \geqq 1$ が 表す領域を $D$,\\ 不等式 $x \geqq 0,\,\,\,y \geqq 0,\,\,\,x\sin\theta + y\cos\theta \leqq 1$ が表す領域を $D^\prime$ とする. $D$ 内に半径 $R$ の2つの円 $C_1,\,\,C_2$ を, $C_1$ は $l$ と$y$軸に接し, $C_2$ は $l$ と$x$軸に接し, さらに $C_1$ と $C_2$ が外接するようにとる. また $D'$ 内に半径 $r$ の2つの円 $C_1^\prime,\,\,C_2^\prime$ を, $C_1^\prime$ は $l$ と$y$軸に接し, $C_2^\prime$ は $l$ と$x$軸に接し, さらに $C_1^\prime$ と $C_2^\prime$ が外接するようにとる. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\dfrac{r}{R}$ を $\theta$ で表せ. \item  $\theta$ が $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くとき, $\dfrac{r}{R}$ のとりうる値の範囲を求めよ.\\ \hfill (配点率20%) \end{enumerate} \end{document}