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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
2004年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
|
状態 |
 |
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport}
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\begin{document}
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$n$ を自然数とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$n$個の複素数 $z_k\,\,\,(k = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n)$ が
\begin{align*}
0 \leqq \arg z_k \leqq \frac{\pi}{2}
\end{align*}
をみたすならば,不等式
\begin{align*}
\zettaiti{z_1}^2 + \zettaiti{z_2}^2
+ \cdots + \zettaiti{z_n}^2
\leqq \zettaiti{z_1 + z_2 + \cdots + z_n}^2
\end{align*}
が成り立つことを示せ.
\item
$n$個の実数 $\pphi_k\,\,\,(k=1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n)$ が
\begin{align*}
0 \leqq \pphi_k \leqq \frac{\pi}{2} \quad かつ \quad
\cos\pphi_1 + \cos\pphi_2 + \cdots + \cos\pphi_n = 1
\end{align*}
をみたすならば,不等式
\begin{align*}
\sqrt{\vphantom{b} n-1}
\leqq \sin\pphi_1 + \sin\pphi_2 + \cdots
+ \sin\pphi_n
\end{align*}
が成り立つことを示せ.
\hfill (配点率20%)
\end{enumerate}
\hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\bfseries 現在は出題範囲外}
\vskip 1zw
以下,{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2004年度前期理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
$n$ を自然数とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$n$個の複素数 $z_k\,\,\,(k = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n)$ が
\begin{align*}
0 \leqq \arg z_k \leqq \frac{\pi}{2}
\end{align*}
をみたすならば,不等式
\begin{align*}
\zettaiti{z_1}^2 + \zettaiti{z_2}^2
+ \cdots + \zettaiti{z_n}^2
\leqq \zettaiti{z_1 + z_2 + \cdots + z_n}^2
\end{align*}
が成り立つことを示せ.
\item
$n$個の実数 $\pphi_k\,\,\,(k=1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n)$ が
\begin{align*}
0 \leqq \pphi_k \leqq \frac{\pi}{2} \quad かつ \quad
\cos\pphi_1 + \cos\pphi_2 + \cdots + \cos\pphi_n = 1
\end{align*}
をみたすならば,不等式
\begin{align*}
\sqrt{\vphantom{b} n-1}
\leqq \sin\pphi_1 + \sin\pphi_2 + \cdots
+ \sin\pphi_n
\end{align*}
が成り立つことを示せ.
\hfill (配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
素数 $p,\,\,q$ に対して
\begin{align*}
a_n
= p^n - 4(-q)^n \quad
(n = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)
\end{align*}
によって整数 $a_n$ を定める.
ただし,$p > 2q$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_1$ と $a_2$ が1より大きい公約数 $m$ をもつならば,
$m = 3$ であることを示せ.
\item
$a_n$ がすべて3の倍数であるような $p,\,\,q$ のうちで積 $pq$ が最小となるものを求めよ.
\hfill (配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$n$ を3以上の自然数とする.
点Oを中心とする半径1の円において,
円周を$n$等分する点$\P_0,\,\,\P_1,\,\,\cdots,\,\,\P_{n-1}$を時計回りにとる.
各 $i = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,n$ に対して,直線$\O\P_{i-1},\,\,\O\P_i$とそれぞれ点$\P_{i-1},\,\,\P_i$で接するような放物線を $C_i$ とする.
ただし,$\P_n = \P_0$ とする.
放物線 $C_1,\,\,C_2,\,\,\cdots,\,\,C_n$ によって囲まれる部分の面積を $S_n$ とするとき,
$\lim\limits_{n \to \infty} S_n$を求めよ.
\hfill (配点率20%)
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
実数 $a,\,\,r$ に対し数列 $\{a_n\}$ を
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\smallskip
x_1 = a \\
x_{n+1} = rx_n(1 - x_n)
\end{array}
\right.
\end{align*}
で定める.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
すべての $n$ について $x_n = a$ となるような $a$ を求めよ.
\item
$x_2 \neq a,\,\,\,x_3 = a$ となるような $a$ の個数を求めよ.
\item
$0 \leqq a \leqq 1$ となるすべての $a$ について $0 \leqq x_n \leqq 1\,\,\,
(n = 2,\,\,3,\,\,4,\,\,\cdots)$ が成り立つような $r$ の範囲を求めよ.
\hfill (配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
座標平面上に直線 $l : x\sin\theta + y\cos\theta = 1\,\,\,
\left(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right)$ がある.\smallskip \\
不等式 $x \geqq 0,\,\,\,y \geqq 0,\,\,\,x\sin\theta + y\cos\theta \geqq 1$ が
表す領域を $D$,\\
不等式 $x \geqq 0,\,\,\,y \geqq 0,\,\,\,x\sin\theta + y\cos\theta \leqq 1$ が表す領域を $D^\prime$ とする.
$D$ 内に半径 $R$ の2つの円 $C_1,\,\,C_2$ を,
$C_1$ は $l$ と$y$軸に接し,
$C_2$ は $l$ と$x$軸に接し,
さらに $C_1$ と $C_2$ が外接するようにとる.
また $D'$ 内に半径 $r$ の2つの円 $C_1^\prime,\,\,C_2^\prime$ を,
$C_1^\prime$ は $l$ と$y$軸に接し,
$C_2^\prime$ は $l$ と$x$軸に接し,
さらに $C_1^\prime$ と $C_2^\prime$ が外接するようにとる.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\dfrac{r}{R}$ を $\theta$ で表せ.
\item
$\theta$ が $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くとき,
$\dfrac{r}{R}$ のとりうる値の範囲を求めよ.\\
\hfill (配点率20%)
\end{enumerate}
\end{document}