大阪大学 前期理系 2001年度 問1

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2001年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{421pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 2つの複素数 $z = x + yi,\,\,\,w = u + vi\,\,\, (x,\,\,y,\,\,u,\,\,vは実数,\,\,\, i = \sqrt{\vphantom{b} {-1}}\,は虚数単位)$ に対し, $x \geqq u$ と $y \geqq v$ がともに成り立つとき, $z \gg w$ と書くことにする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  次の条件 \[ z^2 \gg 3 \,\,\,かつ\,\,\, \overline{\mathstrut z} \gg -\frac{5}{2} \] をみたす複素数 $z$ の範囲を求め, 複素数平面上に図示せよ. ただし,$\overline{\mathstrut z}$ は $z$ に共役な複素数とする. \item  (1)で求めた範囲を $z$ が動くとき, 絶対値 $\zettaiti{z - 3i}$ の最小値, および最小値をあたえる $z$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\bfseries 現在は出題範囲外} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2001年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 2つの複素数 $z = x + yi,\,\,\,w = u + vi\,\,\, (x,\,\,y,\,\,u,\,\,vは実数,\,\,\, i = \sqrt{\vphantom{b} {-1}}\,は虚数単位)$ に対し, $x \geqq u$ と $y \geqq v$ がともに成り立つとき, $z \gg w$ と書くことにする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  次の条件 \[ z^2 \gg 3 \,\,\,かつ\,\,\, \overline{\mathstrut z} \gg -\frac{5}{2} \] をみたす複素数 $z$ の範囲を求め, 複素数平面上に図示せよ. ただし,$\overline{\mathstrut z}$ は $z$ に共役な複素数とする. \item  (1)で求めた範囲を $z$ が動くとき, 絶対値 $\zettaiti{z - 3i}$ の最小値, および最小値をあたえる $z$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm $f(x) = x^4 + x^3 - 3x^2$ とおく. 曲線 $y = f(x)$ に点$(0,\,\,a)$から接線がただひとつ引けるとし, しかもその接線はただ1点でこの曲線に接するとする. このときの $a$ の値を求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 半径1の円周上に, $4n$個の点$\P_0,\,\,\P_1,\,\,\cdots,\,\,\P_{4n-1}$が, 反時計回りに等間隔に並んでいるとする. ただし,$n$ は自然数である. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  線分$\P_0\P_k$の長さが $\sqrt{\vphantom{b} 2}$ 以上となる $k$ の範囲を 求めよ. \item  点$\P_0,\,\,\P_1,\,\,\cdots,\,\,\P_{4n-1}$のうちの相異なる3点を 頂点に持つ三角形のうち, 各辺の長さがすべて $\sqrt{\vphantom{b} 2}$ 以上になるものの個数 $g(n)$ を 求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 関数 $f(x) = 4\cos^2 x - 8\cos x + 3$ を考える. $n,\,\,k$ を自然数とし \[ g_n(k) = f\bigg(\frac{\pi}{3n} \bigg) + f\!\left(\frac{2\pi}{3n} \right) + \cdotss + f\!\left(\frac{k\pi}{3n} \right) \] とおく. ただし $n \geqq 2$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n$ を固定する. $2 \leqq k \leqq 3n$ の範囲で $g_n(k-1) \geqq g_n(k)$ となる $k$ をすべて求めよ.また,$k$ が $1 \leqq k \leqq 3n$ の範囲を動くとき, $g_n(k)$ を最小とする $k$ をすべて求めよ. \item  (1)における $g_n(k)$ の最小値を $G_n$ とする. このとき極限値 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{G_n}{n} \] を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 数列 $\{a_n\}$ において,\smallskip 各項 $a_n$ が $a_n \geqq 0$ をみたし, かつ $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n = \dfrac{1}{2}$ が成り立つとする. さらに各$n$に対し \begin{gather*} b_n = (1-a_1)(1-a_2) \cdots (1-a_n) \\ c_n = 1 - (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) \end{gather*} とおく. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  すべての $n$ に対し不等式 $b_n \geqq c_n$ が成り立つことを, 数学的帰納法で示せ. \item  ある $n$ について $b_{n+1} = c_{n+1}$ が成り立てば, $b_n = c_n$ となることを示せ. \item  $b_3 = \dfrac{1}{2}$ となるとき,\smallskip $c_3 = \dfrac{1}{2}$ であることを示せ. また $b_3 = \dfrac{1}{2}$ となる数列 $\{a_n\}$ は全部で何種類あるかを求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}