大阪大学 後期理系 1994年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 1994年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} %\usepackage{myhyper} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{flushleft} {\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題} \end{flushleft} $p$ を与えられた自然数とし, 数列 $\{a_n\}$ を以下のように定める.\smallskip (イ) \quad $a_1 = \dfrac{1}{p(p+1)} - \dfrac{1}{2}$ \smallskip (ロ) \quad $a_n$ が有理数のとき, $a_{n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a_n$ \smallskip (ハ) \quad $a_n$ が無理数のとき, $a_{n+1} = \sqrt{2}\,a_n + \dfrac{16}{n(n+1)(n+4)}$ \smallskip 次の問いに答えよ. ただし,$\sqrt{2}$ が無理数であることは用いてよい. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $b_m = a_{2m-1}$ とするとき, $m=1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,p$ に対し \begin{align*} b_m = \frac{1}{p(p+1)} - \frac{1}{m(m+1)} \end{align*} であることを示せ. \item  $\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n$ を求めよ. \hfill(配点50点) \end{enumerate} \end{document}