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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
大学名 |
京都大学 |
学科・方式 |
後期文系 |
年度 |
1997年度 |
問No |
問4 |
学部 |
総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
三角関数
|
状態 |
 |
\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
3角形 $\bigtriangleup$ABC において,$\alpha=\sin 2A$,$\beta=\sin 2B$,
$\gamma=\sin 2C$ とおくとき,次の2つの条件(イ),(ロ)は互いに同値
((イ)$\iff$(ロ))であ
ることを示せ.
\begin{toi}
\item[(イ)] $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$
\item[(ロ)] $A=45^{\circ}$,または $A=135^{\circ}$,または $B=90^{\circ}$,
または $C=90^{\circ}$.
\end{toi}
\end{FRAME}
%kai
\begin{align*}
&\text{(イ)}
\iff \sin^22A=\sin^22B+\sin^22C\\
&\iff 1-\cos^22A=\frac{1-\cos 4B}{2}+\frac{1-\cos 4C}{2}\\
&\iff \cos^2 2A=\cos 4B+\cos 4C\\
&\iff 2\cos^2 2A=2\cos(2(B+C))\cos(2(B-C))\\
&\iff \cos 2A(\cos 2(B+C)-\cos 2(B-C))=0\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(\because\quad B+C=180^\circ-A)\\
&\iff \cos 2A\sin 2B\sin 2C=0\\
&\iff \cos 2A=0\text{ または }\sin 2B=0\text{ または }\sin 2C=0\\
&\iff 2A=90^\circ,\,270^\circ\text{ または }2B=180^\circ\text{ または }2C=180^\circ\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(\because\quad 0^\circ<A, \,B,\, C<180^\circ)\\
&\iff A=45^{\circ}\text{ または }A=135^{\circ}
\text{ または }B=90^{\circ}\text{ または }C=90^{\circ}: \text{(ロ)}
\end{align*}
%\betu
%\chu
\end{document}