京都大学 後期文系 1997年度 問4

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期文系
年度 1997年度
問No 問4
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 3角形 $\bigtriangleup$ABC において,$\alpha=\sin 2A$,$\beta=\sin 2B$, $\gamma=\sin 2C$ とおくとき,次の2つの条件(イ),(ロ)は互いに同値 ((イ)$\iff$(ロ))であ ることを示せ. \begin{toi} \item[(イ)] $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ \item[(ロ)] $A=45^{\circ}$,または $A=135^{\circ}$,または $B=90^{\circ}$, または $C=90^{\circ}$. \end{toi} \end{FRAME} %kai \begin{align*} &\text{(イ)} \iff \sin^22A=\sin^22B+\sin^22C\\ &\iff 1-\cos^22A=\frac{1-\cos 4B}{2}+\frac{1-\cos 4C}{2}\\ &\iff \cos^2 2A=\cos 4B+\cos 4C\\ &\iff 2\cos^2 2A=2\cos(2(B+C))\cos(2(B-C))\\ &\iff \cos 2A(\cos 2(B+C)-\cos 2(B-C))=0\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(\because\quad B+C=180^\circ-A)\\ &\iff \cos 2A\sin 2B\sin 2C=0\\ &\iff \cos 2A=0\text{ または }\sin 2B=0\text{ または }\sin 2C=0\\ &\iff 2A=90^\circ,\,270^\circ\text{ または }2B=180^\circ\text{ または }2C=180^\circ\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(\because\quad 0^\circ<A, \,B,\, C<180^\circ)\\ &\iff A=45^{\circ}\text{ または }A=135^{\circ} \text{ または }B=90^{\circ}\text{ または }C=90^{\circ}: \text{(ロ)} \end{align*} %\betu %\chu \end{document}