大阪大学 前期理系 2005年度 問5

解答を見る

解答作成者: 森 宏征

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2005年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。

\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $n$ を正の整数,$a$ を正の実数とする. 曲線 $y = x^n$ と曲線 $y = a\log x$ が, 点Pで共通の接線をもつとする. ただし, 対数は自然対数である. 点Pの$x$座標を $t$ とするとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a,\,\,t$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ. \item  曲線 $y = x^n$ と$x$軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の 面積を $S_1$ とする.また,\smallskip 曲線 $y = a\log x$ と$x$軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の 面積を $S_2$ とする. このとき,$\dfrac{S_2}{S_1}$ を $n$ を用いて表せ. \item  $x \geqq 0$ のとき,不等式 \[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1 \leqq \frac{x^2}{2} \] が成り立つことを, 次の({\sffamily a}),\,\,({\sffamily b})に分けて示せ.\smallskip ただし,$e$は自然対数の底とする. \begin{enumerate} \item[({\sffamily a})]  $x \geqq 0$ のとき, 不等式 $e^{-x} + x - 1 \leqq \dfrac{x^2}{2}$ が 成り立つことを示せ. \item[({\sffamily b})]  $x \geqq 0$ のとき, 不等式 $\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1$ が 成り立つことを示せ. \end{enumerate} \item  極限値 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{S_2}{S_1}$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}