大阪大学 後期理系 1997年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 1997年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} %\usepackage{myhyper} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{flushleft} {\color[named]{RoyalPurple}\bfseries 工学部,基礎工学部受験者用問題} \end{flushleft} 行列 \smallskip$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ と自然数 $n$ に対して, 行列 $X_n$ を \\ $X_n = A^{2n} + A^n + E$ で定義する. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $A^2,\,\,A^3,\,\,A^4$ を $A$ と $E$ で表せ. \item  自然数 $n$ に対して, $X_{n+4} = X_n$ であることを示せ. \item  $0 < r < 1$ として, 自然数 $k$ に対して \[ \begin{pmatrix} s_k & t_k \\ u_k & v_k \end{pmatrix} = rX_1 + r^2X_2 + r^3X_3 + r^4X_4 + \cdots + r^{4k}X_{4k} \] と定める.$s_k,\,\,t_k$ を求めよ. さらに極限値 $\lim\limits_{k \to \infty} s_k$ を求めよ. \end{enumerate} \end{document}