大阪大学 前期理系 1997年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1997年度
問No 問3
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ いろいろな曲線
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} %\usepackage{myhyper} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 楕円 \smallskip$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\,\,\,(a > b > 0)$ と双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{c^2} = 1\,\,\,(c > 0)$ を考える. 点$\P(s,\,\,t)\,\,\,(s > 0,\,\,\,t > 0)$を双曲線上にとり, 原点Oと点Pを結ぶ線分と楕円の交点をQとする. 点Pにおける双曲線の接線が$x$軸と交わる点をA, 点Qにおける楕円の接線が$x$軸と交わる点をBとする. 点Pを直線PAと直線QBが直交するようにとるとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点Pの座標を求めよ. \item  点A,Bはそれぞれ楕円,双曲線の焦点であることを示せ. \item  $k$ を $0 < k < 1$ をみたす定数とする. $a,\,\,b,\,\,c$ が $a^2 + c^2 = 1,\,\,\,a^2 - b^2 = k^2$ をみたしながら変化するとき, 直線PAと直線QBの交点Rの$y$座標が最大となるような $a,\,\,b,\,\,c$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}