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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
後期理系 |
| 年度 |
1996年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
行列と連立一次方程式
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 4 \end{pmatrix}$ について
以下の問に答えよ．
ただし，$O$ は零行列を表す．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A^{500} = O$ のとき $A^2 = O$ が成り立つことを示せ．
\item
$A^2 = O$ であり，$A$ の成分をならべかえて得られる行列がどれも逆行列をもたないとする．このような条件をみたす $a,\,\,b,\,\,c$ の組をすべて求めよ．\\
\hfill (理学部50点，工学部，基礎工学部配点率30％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1996年度後期理系}の全問題を挙げる．
\newpage
\begin{flushleft}
{\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題}
\end{flushleft}
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 4 \end{pmatrix}$ について
以下の問に答えよ．
ただし，$O$ は零行列を表す．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A^{500} = O$ のとき $A^2 = O$ が成り立つことを示せ．
\item
$A^2 = O$ であり，$A$ の成分をならべかえて得られる行列がどれも逆行列をもたないとする．このような条件をみたす $a,\,\,b,\,\,c$ の組をすべて求めよ．\\
\hfill (配点50点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
$a > 1$ に対して，
方程式 $2xe^{ax} = e^{ax} - e^{ax}$ を考える．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
この方程式は正の解をただ1つもつことを示せ．
\item
その解を $m(a)$ とかくとき，
$1 < a_1 < a_2$ ならば $m(a_1) < m(a_2)$ であることを示せ．
\item
$\lim\limits_{m \to \infty} m(a)$ を求めよ．
\hfill(配点50点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$n$ を正の整数とする．
1から6までの目が等しい確率で出るサイコロ2つを
同時に投げるという試行を$n$回くり返す．
$i$番目の試行$(1 \leqq i \leqq n)$で出た2つのサイコロの目の和を $X_i$ とする．
また，$X_1,\,\,X_2,\,\,\cdots,\,\,X_n$ のうち最大値を $M(n)$，
最小値を $m(n)$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$M(2) > m(2)$ となる確率を求めよ．
\item
$M(n) = 5$ となる確率を求めよ．
\item
$m(n)$ の期待値を $a_n$ とかくとき，
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ を求めよ．
\hfill(配点50点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\begin{flushleft}
{\color[named]{RoyalPurple}\bfseries 工学部，基礎工学部受験者用問題}
\end{flushleft}
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 4 \end{pmatrix}$ について
以下の問に答えよ．
ただし，$O$ は零行列を表す．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$A^{500} = O$ のとき $A^2 = O$ が成り立つことを示せ．
\item
$A^2 = O$ であり，$A$ の成分をならべかえて得られる行列がどれも逆行列をもたないとする．このような条件をみたす $a,\,\,b,\,\,c$ の組をすべて求めよ．\\
\hfill (配点率30％)
\end{enumerate}
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
$n$ を正の整数とする．
1から6までの目が等しい確率で出るサイコロ2つを
同時に投げるという試行を$n$回くり返す．
$i$番目の試行$(1 \leqq i \leqq n)$で出た2つのサイコロの目の和を $X_i$ とする．
また，$X_1,\,\,X_2,\,\,\cdots,\,\,X_n$ のうち最大値を $M(n)$，
最小値を $m(n)$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$M(2) > m(2)$ となる確率を求めよ．
\item
$M(n) = 5$ となる確率を求めよ．
\item
$m(n)$ の期待値を $a_n$ とかくとき，
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ を求めよ．
\hfill(配点率30％)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$0 < a \leqq 1$ とする．
点$(a,\,\,0)$を中心とする半径1の円周を $C$ とする．
原点$(0,\,\,0)$を通り傾き $m$ の直線と $C$ との交点をP,\,\,Qとし，
その中点をRとする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$m$ を動かすとき，
Rが描く軌跡 $D$ を求めよ．
\item
$D$ に原点をつけ加えた曲線と $C$ が囲む図形の
\[
\{(x,\,\,y)\,|\,x \geqq 0,\quad y \geqq 0\}
\]
に含まれる部分を $E$ とする．
$E$ を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V(a)$ を求めよ．
\item
$0 < a \leqq 1$ における $V(a)$ の最大値を求めよ．
\hfill(配点率40％)
\end{enumerate}
\end{document}
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