大阪大学 前期理系 2006年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2006年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %iwa \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 曲線 $y = x\sin^2 x$ と直線 $y = x$ の共有点のうち, $x$座標が正のものを, $x$座標が小さいものから順に$\A_1,\,\,\A_2,\,\,\A_3,\,\,\cdots$とし, 第$n$番目の点を$\A_n$とする. 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点$\A_n$の$x$座標を求めよ. また,点$\A_n$において, 曲線 $y = x\sin^2x$ と直線 $y = x$ は接していることを示せ. \item  線分$\A_n\A_{n+1}$と曲線 $y = x\sin^2 x$ で囲まれる部分の面積を求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2006年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 曲線 $y = x\sin^2 x$ と直線 $y = x$ の共有点のうち, $x$座標が正のものを, $x$座標が小さいものから順に$\A_1,\,\,\A_2,\,\,\A_3,\,\,\cdots$とし, 第$n$番目の点を$\A_n$とする. 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点$\A_n$の$x$座標を求めよ. また,点$\A_n$において, 曲線 $y = x\sin^2x$ と直線 $y = x$ は接していることを示せ. \item  線分$\A_n\A_{n+1}$と曲線 $y = x\sin^2 x$ で囲まれる部分の面積を求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 直線 $y = x$ を $l$ で, 直線 $y = -x$ を $l'$ で表す. 直線 $l,\,\,l'$ のどちらの上にもない点$\A(a,\,\,b)$をとる. 点Aを通る直線 $m$ が2直線 $l,\,\,l'$ とそれぞれ点$\P,\,\,\P'$で交わるとする. 点Qを \[ \OP + \bekutoru{$\O\P'$} = \OA + \OQ \] を満たすようにとる. ただし,Oは$xy$平面の原点である. 直線 $m$ を変化させるときQの軌跡は $l$ と $l'$ を漸近線とする双曲線となることを示せ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $x,\,\,y$ を変数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n$ を自然数とする. 次の等式が成り立つように定数 $a,\,\,b$ を求めよ. \begin{align*} & \frac{n + 1}{y(y + 1) \cdots (y + n)(y + n + 1)} \\[1mm] &\qquad{} = \frac{a}{y(y + 1) \cdots (y + n)} + \frac{b}{(y + 1)(y + 2) \cdots (y + n + 1)} \end{align*} \item  すべての自然数 $n$ について, 次の等式が成り立つことを証明せよ. \begin{align*} \frac{n!}{x(x + 1) \cdots (x + n)} = \sum_{r=0}^n (-1)^r \frac{{}_n\C_r}{x + r} \end{align*} \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 三角形OABの辺OA,OB上に, それぞれ点P,Qをとり \[ \OP = a\OA,\quad \OQ = b\OB \quad (0 < a < 1,\quad 0 < b < 1) \] とする. 三角形OABの重心Gが三角形OPQの内部に含まれるための必要十分条件を $a,\,\,b$ を用いて表せ. また, その条件を満たす点$(a,\,\,b)$はどのような範囲にあるかを座標平面上に図示せよ. ただし,三角形OPQの辺上の点は, 三角形OPQの内部に含まれないと考える. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 1辺の長さが1の正方形ABCDの辺BC,CD,DA,AB上に, それぞれ点P,Q,R,Sを \begin{align*} \angle\A\P\B = \angle\Q\P\C,\quad \angle\P\Q\C = \angle\R\Q\D,\quad \angle\Q\R\D = \angle\S\R\A \end{align*} となるようにとる. ただし,点P,Q,R,Sは, どれも正方形ABCDの頂点とは一致しないものとする. 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  線分BPの長さ $t$ のとりうる値の範囲を求めよ. \item  直線APと直線RSの交点をTとする. 四角形PQRTの面積を線分BPの長さ $t$ についての関数と考えて $f(t)$ で表す. $f(t)$ の最大値を求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}