すうじあむ

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %iwa \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 曲線 $y = x\sin^2 x$ と直線 $y = x$ の共有点のうち， $x$座標が正のものを， $x$座標が小さいものから順に$\A_1,\,\,\A_2,\,\,\A_3,\,\,\cdots$とし， 第$n$番目の点を$\A_n$とする． 以下の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　点$\A_n$の$x$座標を求めよ． また，点$\A_n$において， 曲線 $y = x\sin^2x$ と直線 $y = x$ は接していることを示せ． \item 　線分$\A_n\A_{n+1}$と曲線 $y = x\sin^2 x$ で囲まれる部分の面積を求めよ．\\ \hfill(配点率20％) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下， {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2006年度前期理系}の全問題を挙げる． \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 曲線 $y = x\sin^2 x$ と直線 $y = x$ の共有点のうち， $x$座標が正のものを， $x$座標が小さいものから順に$\A_1,\,\,\A_2,\,\,\A_3,\,\,\cdots$とし， 第$n$番目の点を$\A_n$とする． 以下の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　点$\A_n$の$x$座標を求めよ． また，点$\A_n$において， 曲線 $y = x\sin^2x$ と直線 $y = x$ は接していることを示せ． \item 　線分$\A_n\A_{n+1}$と曲線 $y = x\sin^2 x$ で囲まれる部分の面積を求めよ．\\ \hfill(配点率20％) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 直線 $y = x$ を $l$ で， 直線 $y = -x$ を $l'$ で表す． 直線 $l,\,\,l'$ のどちらの上にもない点$\A(a,\,\,b)$をとる． 点Aを通る直線 $m$ が2直線 $l,\,\,l'$ とそれぞれ点$\P,\,\,\P'$で交わるとする． 点Qを \[ \OP + \bekutoru{$\O\P'$} = \OA + \OQ \] を満たすようにとる． ただし，Oは$xy$平面の原点である． 直線 $m$ を変化させるときQの軌跡は $l$ と $l'$ を漸近線とする双曲線となることを示せ． \hfill(配点率20％) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $x,\,\,y$ を変数とする． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$n$ を自然数とする． 次の等式が成り立つように定数 $a,\,\,b$ を求めよ． \begin{align*} & \frac{n + 1}{y(y + 1) \cdots (y + n)(y + n + 1)} \\[1mm] &\qquad{} = \frac{a}{y(y + 1) \cdots (y + n)} + \frac{b}{(y + 1)(y + 2) \cdots (y + n + 1)} \end{align*} \item 　すべての自然数 $n$ について， 次の等式が成り立つことを証明せよ． \begin{align*} \frac{n!}{x(x + 1) \cdots (x + n)} = \sum_{r=0}^n (-1)^r \frac{{}_n\C_r}{x + r} \end{align*} \hfill(配点率20％) \end{enumerate} \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 三角形OABの辺OA，OB上に， それぞれ点P，Qをとり \[ \OP = a\OA,\quad \OQ = b\OB \quad (0 < a < 1,\quad 0 < b < 1) \] とする． 三角形OABの重心Gが三角形OPQの内部に含まれるための必要十分条件を $a,\,\,b$ を用いて表せ． また， その条件を満たす点$(a,\,\,b)$はどのような範囲にあるかを座標平面上に図示せよ． ただし，三角形OPQの辺上の点は， 三角形OPQの内部に含まれないと考える． \hfill(配点率20％) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 1辺の長さが1の正方形ABCDの辺BC，CD，DA，AB上に， それぞれ点P，Q，R，Sを \begin{align*} \angle\A\P\B = \angle\Q\P\C,\quad \angle\P\Q\C = \angle\R\Q\D,\quad \angle\Q\R\D = \angle\S\R\A \end{align*} となるようにとる． ただし，点P，Q，R，Sは， どれも正方形ABCDの頂点とは一致しないものとする． 以下の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　線分BPの長さ $t$ のとりうる値の範囲を求めよ． \item 　直線APと直線RSの交点をTとする． 四角形PQRTの面積を線分BPの長さ $t$ についての関数と考えて $f(t)$ で表す． $f(t)$ の最大値を求めよ．\\ \hfill(配点率20％) \end{enumerate} \end{document}