大阪大学 前期理系 1987年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1987年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{amscd} \def\W{{\mathrm{W}}} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 袋のなかに赤玉が$a$個, 白玉が$b$個はいっている. この袋から無作為に1個の玉を取り出し, その色を記録して袋にもどす. この試行をくり返し, 同じ色の玉が2回続けて出るか, または試行の回数が$2N$に達したとき, 試行を止める. ただし,$N$は2以上の一定の自然数とする.\smallskip この試行がちょうど$k$回で終る確率を % $P_k\,\,\,(k = 2,\,\,3,\,\,\cdots,\,\,2N)$ とし, $p = \dfrac{a}{a + b},\,\,\,q = \dfrac{b}{a + b},\,\,\, r = pq$ とおく. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $P_{2l},\,\,P_{2l+1}\,\,\,(l = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,N-1)$ % および $P_{2N}$ を $r$ を用いて表せ. \item  試行の回数の期待値 \smallskip$E = \sum\limits_{k = 2}^{2N}kP_k$ は, 定数 $A,\,\,B$ を用いて,\\ $E = A + B(r + r^2 + \cdots + r^{N-1})$ と表されることを示し, $A,\,\,B$ を求めよ. \item  $E < 3$ を示せ. \end{enumerate} \end{document}