大阪大学 文系 1994年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 1994年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} どのような自然数 $n$ に対しても \smallskip% $\sum\limits_{k=1}^n (ak^2 + bk + 1)$ が常に $n$ で割り切れるような整数 % $a,\,\,b$ の組$(a,\,\,b)$は \begin{align*} 0 < a \leqq 6m \quad かつ \quad 0 < b \leqq 6m \end{align*} の範囲に全体で何組あるか. その個数を $m$ で表せ. \hfill (配点率30%) \vskip 1zw \hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\sffamily\bfseries 1994 前期 理系 第1問}と 共通. \vskip 2zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1994年度前期文系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm どのような自然数 $n$ に対しても \smallskip% $\sum\limits_{k=1}^n (ak^2 + bk + 1)$ が常に $n$ で割り切れるような整数 % $a,\,\,b$ の組$(a,\,\,b)$は \begin{align*} 0 < a \leqq 6m \quad かつ \quad 0 < b \leqq 6m \end{align*} の範囲に全体で何組あるか. その個数を $m$ で表せ. \hfill (配点率30%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 放物線 $y = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}$ と直線 $y = 1$ で 囲まれる図形を $R$ とする.\smallskip \\ 行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{\vphantom{b} 3} \\ \sqrt{\vphantom{b} 3} & -1 \end{pmatrix}$ による一次変換を考え,\smallskip $\bekutoru{$x_0$} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{16} \smallskip \\ 0 \end{pmatrix},\,\,\,\bekutoru{$x_n$} = A^n\bekutoru{$x_0$}$ とおく. $\bekutoru{$x_n$}$ が図形 $R$ に含まれる自然数 $n$ と, そのときの $\bekutoru{$x_n$}$ を求めよ. \smallskip \noindent% {\bfseries 補足}:厳密には $R$ とは $\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2} \leqq y \leqq 1$ で定められる図形のことである.\smallskip \\ \hfill(配点率30%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 原点を通る傾き正の直線 $l$ を考える.\smallskip いま点Pが原点から直線 $l$ に沿って第1象限を直進し, 直線 $l$ と曲線 \smallskip$C : y = \dfrac{1}{\sqrt{\vphantom{b} 3}}x$ の 交点$\Q\!\left(a,\,\,\dfrac{a^3}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right)$で反射した後, 再び直進する. ただし,点Qにおいて, $C$ の接線に対し, 入射角と反射角が等しいとする. 反射後の点Pの進行方向が$y$軸と平行になるとき, 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a$ の値を求めよ. \item  直線 $l$ と曲線 $C$ が第1象限で囲む図形の面積を求めよ. \hfill(配点率40%) \end{enumerate} \end{document}