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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
1994年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
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カテゴリ |
式と証明
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状態 |
 |
全件表示
No |
メッセージ |
投稿者 |
日時 |
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1 |
解答がおかしいので修正する予定です。 |
森 宏征 さん
|
2011/01/07 21:10:30 |
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報告
|
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport}
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\usepackage{amssymb}
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\begin{document}
\setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw}
\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
どのような自然数 $n$ に対しても \smallskip%
$\sum\limits_{k=1}^n (ak^2 + bk + 1)$ が常に $n$ で割り切れるような整数 %
$a,\,\,b$ の組$(a,\,\,b)$は
\begin{align*}
0 < a \leqq 6m \quad かつ \quad 0 < b \leqq 6m
\end{align*}
の範囲に全体で何組あるか.
その個数を $m$ で表せ.
\hfill (配点率20%)
\vskip 1zw
\hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\sffamily\bfseries 1994 文系 第1問}と
共通.
\vskip 2zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1994年度前期理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
どのような自然数 $n$ に対しても \smallskip%
$\sum\limits_{k=1}^n (ak^2 + bk + 1)$ が常に $n$ で割り切れるような整数 %
$a,\,\,b$ の組$(a,\,\,b)$は
\begin{align*}
0 < a \leqq 6m \quad かつ \quad 0 < b \leqq 6m
\end{align*}
の範囲に全体で何組あるか.
その個数を $m$ で表せ.
\hfill (配点率20%)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
原点を通る傾き正の直線 $l$ を考える.\smallskip
いま点Pが原点から直線 $l$ に沿って第1象限を直進し,
直線 $l$ と曲線 \smallskip$C : y = \dfrac{1}{\sqrt{\vphantom{b} 3}}x$ の
交点$\Q\!\left(a,\,\,\dfrac{a^3}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right)$で反射した後,
再び直進する.
ただし,点Qにおいて,
$C$ の接線に対し,
入射角と反射角が等しいとする.
反射後の点Pの進行方向が$y$軸と平行になるとき,
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a$ の値を求めよ.
\item
直線 $l$ と曲線 $C$ が第1象限で囲む図形の面積を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$\alpha,\,\,\beta$ を $0 < \alpha < \beta < \pi$ をみたす定数とし,
$t$ を変数とする.
空間内の曲線$(x(t),\,\,y(t),\,\,z(t))$を
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\smallskip
x(t) = \sin(t + \alpha) \\
\smallskip
y(t) = \sin(t + \beta) \\
z(t) = \sin t
\end{array}
\right.
\end{align*}
で定める.
ただし,$t$ は $0 \leqq t < 2\pi$ の範囲で動くこととする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
この曲線は原点を通る平面に含まれることを示し,
その平面の法線ベクトルの1つを求めよ.
\item
$\alpha = \theta,\,\,\,\beta = 2\theta$ とおき,\smallskip
$\theta$ を $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で動かすとき,
(1)の平面と点$(-1,\,\,2,\,\,0)$との距離の最大値を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
各自然数 $n$ に対して曲線 $y = e^{nx} - 1$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ の第1象限に
おける交点の座標を$(p_n,\,\,q_n)$とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$x \geqq 0$ のとき不等式 $e^{nx} - 1 \geqq nx$ が成り立つことを証明せよ.
\item
(1)の結果を用いて $\lim\limits_{n \to \infty} p_n = 0$ を証明せよ.
\item
(2)の結果を用いて $\lim\limits_{n \to \infty} q_n$ および %
$\lim\limits_{n \to \infty} np_n$ を求めよ.
\item
4点$(0,\,\,0),\,\,(0,\,\,q_n),\,\,(p_n,\,\,q_n)$を頂点とする長方形の
面積を $S_n$ で表し,
また曲線 $y = e^{nx} - 1$,$x$軸,\smallskip
直線 $y = p_n$ で囲まれた図形の面積を $T_n$ で表すことにする.
このとき $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{T_n}{S_n}$ を求めよ.
\hfill(配点率20%)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
袋の中に白球が1個,赤球が2個はいっている.この状態から始めて,次のような試行をくりかえす.
袋の中から無作為に球を1個取り出し,それが白球であれば袋の中に戻し,
赤球であればそれを戻さずに代わりに白球を2個袋の中に入れる.
$k$ を2以上の自然数とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
ちょうど $k$ 回の試行の後に,袋の中の球の個数がはじめて5になる確率 %
$p(k)$ を求めよ.
\item
$\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=2}^n kp(k)$ を求めよ.
\end{enumerate}
\noindent{\bfseries 補足}:ただし,$0 < a < 1$ をみたす数 $a$ に対し %
$\lim\limits_{n \to \infty}na^n=0$ であることは用いてよい.
\hfill(配点率20%)
\end{document}