大阪大学 前期理系 1994年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1994年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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1
解答がおかしいので修正する予定です。
森 宏征 さん 2011/01/07 21:10:30 報告
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} どのような自然数 $n$ に対しても \smallskip% $\sum\limits_{k=1}^n (ak^2 + bk + 1)$ が常に $n$ で割り切れるような整数 % $a,\,\,b$ の組$(a,\,\,b)$は \begin{align*} 0 < a \leqq 6m \quad かつ \quad 0 < b \leqq 6m \end{align*} の範囲に全体で何組あるか. その個数を $m$ で表せ. \hfill (配点率20%) \vskip 1zw \hfill ※ {\color[named]{OrangeRed}\sffamily\bfseries 1994 文系 第1問}と 共通. \vskip 2zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1994年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm どのような自然数 $n$ に対しても \smallskip% $\sum\limits_{k=1}^n (ak^2 + bk + 1)$ が常に $n$ で割り切れるような整数 % $a,\,\,b$ の組$(a,\,\,b)$は \begin{align*} 0 < a \leqq 6m \quad かつ \quad 0 < b \leqq 6m \end{align*} の範囲に全体で何組あるか. その個数を $m$ で表せ. \hfill (配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 原点を通る傾き正の直線 $l$ を考える.\smallskip いま点Pが原点から直線 $l$ に沿って第1象限を直進し, 直線 $l$ と曲線 \smallskip$C : y = \dfrac{1}{\sqrt{\vphantom{b} 3}}x$ の 交点$\Q\!\left(a,\,\,\dfrac{a^3}{\sqrt{\vphantom{b} 3}} \right)$で反射した後, 再び直進する. ただし,点Qにおいて, $C$ の接線に対し, 入射角と反射角が等しいとする. 反射後の点Pの進行方向が$y$軸と平行になるとき, 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a$ の値を求めよ. \item  直線 $l$ と曲線 $C$ が第1象限で囲む図形の面積を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $\alpha,\,\,\beta$ を $0 < \alpha < \beta < \pi$ をみたす定数とし, $t$ を変数とする. 空間内の曲線$(x(t),\,\,y(t),\,\,z(t))$を \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \smallskip x(t) = \sin(t + \alpha) \\ \smallskip y(t) = \sin(t + \beta) \\ z(t) = \sin t \end{array} \right. \end{align*} で定める. ただし,$t$ は $0 \leqq t < 2\pi$ の範囲で動くこととする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  この曲線は原点を通る平面に含まれることを示し, その平面の法線ベクトルの1つを求めよ. \item  $\alpha = \theta,\,\,\,\beta = 2\theta$ とおき,\smallskip $\theta$ を $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で動かすとき, (1)の平面と点$(-1,\,\,2,\,\,0)$との距離の最大値を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 各自然数 $n$ に対して曲線 $y = e^{nx} - 1$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ の第1象限に おける交点の座標を$(p_n,\,\,q_n)$とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x \geqq 0$ のとき不等式 $e^{nx} - 1 \geqq nx$ が成り立つことを証明せよ. \item  (1)の結果を用いて $\lim\limits_{n \to \infty} p_n = 0$ を証明せよ. \item  (2)の結果を用いて $\lim\limits_{n \to \infty} q_n$ および % $\lim\limits_{n \to \infty} np_n$ を求めよ. \item  4点$(0,\,\,0),\,\,(0,\,\,q_n),\,\,(p_n,\,\,q_n)$を頂点とする長方形の 面積を $S_n$ で表し, また曲線 $y = e^{nx} - 1$,$x$軸,\smallskip 直線 $y = p_n$ で囲まれた図形の面積を $T_n$ で表すことにする. このとき $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{T_n}{S_n}$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 袋の中に白球が1個,赤球が2個はいっている.この状態から始めて,次のような試行をくりかえす. 袋の中から無作為に球を1個取り出し,それが白球であれば袋の中に戻し, 赤球であればそれを戻さずに代わりに白球を2個袋の中に入れる. $k$ を2以上の自然数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  ちょうど $k$ 回の試行の後に,袋の中の球の個数がはじめて5になる確率 % $p(k)$ を求めよ. \item  $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=2}^n kp(k)$ を求めよ. \end{enumerate} \noindent{\bfseries 補足}:ただし,$0 < a < 1$ をみたす数 $a$ に対し % $\lim\limits_{n \to \infty}na^n=0$ であることは用いてよい. \hfill(配点率20%) \end{document}