大阪大学 前期理系 1993年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1993年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 負でない整数の組 $x_0,\,\,x_1,\,\,x_2,\,\,x_3$ が \[ x_{n+1} = {x_n}^3 + 1 \quad (n = 0,\,\,1,\,\,2) \] をみたすとき, 以下のことを示せ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $0 \leqq n \leqq 2$ に対し, $x_nx_{n+1}$ は2で割り切れる. \item  $x_1$ を9で割った余りは0,\,\,1,\,\,2のいずれかである. \item  $x_1x_2x_3$ は18で割り切れる. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1993年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 負でない整数の組 $x_0,\,\,x_1,\,\,x_2,\,\,x_3$ が \[ x_{n+1} = x_n^3 + 1 \quad (n = 0,\,\,1,\,\,2) \] をみたすとき, 以下のことを示せ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $0 \leqq n \leqq 2$ に対し, $x_nx_{n+1}$ は2で割り切れる. \item  $x_1$ を9で割った余りは0,\,\,1,\,\,2のいずれかである. \item  $x_1x_2x_3$ は18で割り切れる. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 一辺の長さ2の正四面体ABCDの表面上にあって $\angle\A\P\B > 90^\circ$ をみたす点P全体のなす集合を$M$とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\triangle\A\B\C$上にある$M$の部分を図示し, その面積を求めよ. \item  $M$の面積を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して,\smallskip $f(A) = a + d,\,\,\,g(A) = ad - bc$ とおく. (2)(3)における $n$ は自然数である. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $A^2 = f(A)A + g(A)E$ を示せ. ただし $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ \item  $n \geqq 1$ のとき, $A^{n+1} = p_nA + q_nE$ をみたすような数 $p_n,\,\,q_n$ が存在することを示せ. \item  2次の正方行列 $A,\,\,B$ が $f(A) = f(B) > 0$ および % $g(A) = g(B) \geqq 0$ をみたし, さらに $A^n = B^n$ であるような $n \geqq 2$ が存在するとき, $A = B$ が成り立つことを示せ. \hfill (配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 1から$N$までの番号を書いたボールが1個ずつ入った袋の中から無作為にボールを1個取り出す試行を考える. ただし,取り出したボールは番号を記録したのち袋に戻すものとする. いまA,Bふたりの人がいて, Aが5回,Bが1回この試行を行う. Aが取り出すボールの番号を試行の順に $X_1,\,\,X_2,\,\,\cdots,\,\,X_5$ とし, Bが取り出すボールの番号を $Y$ とするとき, 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $k$ を$N$以下の自然数とする. $Y = k$ であり, さらに $X_1,\,\,X_2,\,\,\cdots,\,\,X_5$ のうち少なくとも4つが$k$以下である という事象の確率 $p(N,\,\,k)$ を求めよ. \item  $X_1,\,\,X_2,\,\,\cdots,\,\,X_5$ のうち少なくとも4つが$Y$以下であるという 事象の確率を $p(N)$ とする. このとき $\lim\limits_{n \to \infty} p(N)$ を求めよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm $f(x)$ は2次の導関数をもち, $f(0) < 0$ をみたす関数で,さらに次の性質をもつという. 原点をOとし, 曲線 $y = f(x)$ 上の任意の点$\P(x,\,\,y)$に対し, 点$(x,\,\,y+1)$をQとするとき, $\angle\O\P\Q$の二等分線が曲線 $y = f(x)$ の点Pにおける法線になる. このとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f(x)$ のみたす微分方程式を求めよ. \item  $g(x) = f'(x)$ とおくとき, $g(x)$ のみたす微分方程式を求めよ. \item  $f(0) = -1$ であるとき, $f(x)$ の形を決定せよ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{document}