大阪大学 後期理系 1991年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 1991年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{flushleft} {\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題} \end{flushleft} 条件 $a \geqq b$ をみたす正の整数 $a,\,\,b$ から数列 $\{r_n\}$ を, $r_1 = a,\,\,\,r_2 = b$, $n \geqq 3$ に対して \[ r_n = \left\{ \begin{array}{ll} \smallskip r_{n-2}\,をr_{n-1}\,で割った余り & (r_{n-1} > 0のとき) \\ 0 & (r_{n-1} = 0のとき) \end{array} \right. \] によって定める.また,数列 $\{f_n\}$ を \[ f_1 = 0,\quad f_2 = 1,\quad f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \quad (n \geqq 3のとき) \] によって定める. このとき以下のことがらを示せ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $r_N > 0,\,\,\,r_{N+1} = 0$ となる整数 $N$ が存在する. 以下,$N$ はこの整数をあらわす. \item  $r_{N+2-k} \geqq f_k\,\,\,(k=1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,N+1)$ \item  $f_{n+1} \geqq \left(\dfrac{3}{2} \right)^{\!\!n-2} \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,\cdots)$ \item  $N \leqq 2 + \log_\frac{3}{2} a$ \end{enumerate} \end{document}