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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
後期理系 |
年度 |
1991年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
数列
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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\begin{flushleft}
{\color[named]{Emerald}\bfseries 理学部受験者用問題}
\end{flushleft}
条件 $a \geqq b$ をみたす正の整数 $a,\,\,b$ から数列 $\{r_n\}$ を,
$r_1 = a,\,\,\,r_2 = b$,
$n \geqq 3$ に対して
\[
r_n
= \left\{
\begin{array}{ll}
\smallskip
r_{n-2}\,をr_{n-1}\,で割った余り
& (r_{n-1} > 0のとき) \\
0
& (r_{n-1} = 0のとき)
\end{array}
\right.
\]
によって定める.また,数列 $\{f_n\}$ を
\[
f_1 = 0,\quad
f_2 = 1,\quad
f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \quad
(n \geqq 3のとき)
\]
によって定める.
このとき以下のことがらを示せ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$r_N > 0,\,\,\,r_{N+1} = 0$ となる整数 $N$ が存在する.
以下,$N$ はこの整数をあらわす.
\item
$r_{N+2-k} \geqq f_k\,\,\,(k=1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,N+1)$
\item
$f_{n+1} \geqq \left(\dfrac{3}{2} \right)^{\!\!n-2} \,\,\,
(n=1,\,\,2,\,\,\cdots)$
\item
$N \leqq 2 + \log_\frac{3}{2} a$
\end{enumerate}
\end{document}