大阪大学 前期理系 1990年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1990年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 数と式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{custom_mori} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $g(x)$ を整式, $h(x)$ を2次式とし \[ f(x) = g(h(x)) \] とおく. このとき,関数 $y = f(x)$ のグラフは$y$軸または$y$軸に平行なある直線に関して対称であることを示せ. \item  $f(x)$ は整式で, 関数 $y = f(x)$ のグラフは$y$軸または$y$軸に平行なある直線に関して対称であるとする. このとき,$f(x)$ は,ある整式 $g(x)$ とある2次式 $h(x)$ を用いて \[ f(x) = g(h(x)) \] と書けることを示せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1990年度前期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $g(x)$ を整式, $h(x)$ を2次式とし \[ f(x) = g(h(x)) \] とおく. このとき,関数 $y = f(x)$ のグラフは$y$軸または$y$軸に平行なある直線に関して対称であることを示せ. \item  $f(x)$ は整式で, 関数 $y = f(x)$ のグラフは$y$軸または$y$軸に平行なある直線に関して対称であるとする. このとき,$f(x)$ は,ある整式 $g(x)$ とある2次式 $h(x)$ を用いて \[ f(x) = g(h(x)) \] と書けることを示せ. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm\smallskip 無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \int_0^\frac{\pi}{2} \cos 2nx \cos x\,dx $ は収束することを示し, その和を求めよ.\\ \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 点$(a,\,\,0)$を通り, 曲線 $y = x^4 - 2x^2 + 1$ に接する直線が$x$軸以外にただ1本存在するような $a$ の値をすべて求めよ. \hfill(配点率20%) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $N,\,\,n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$ を $1 \leqq n_1 < n_2 < n_3,\,\,\, n_1 + n_2 + n_3 = 2N$ を満たす定められた定数とする. 赤玉,白玉$N$個ずつ計$2N$個の玉を3つに分けて, 袋1,袋2,袋3にそれぞれ$n_1,\,\,n_2,\,\,n_3$個入れてある. このとき袋$i$の中の赤玉の個数を $x_i\,\,\,(i = 1,\,\,2,\,\,3)$ とおく. いま,これら3つの袋から無作為に1つの袋を選び, その袋の中から1個の玉を無作為にとり出す. このときとり出される玉が赤玉である確率を $P$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $P$ を $n_i,\,\,x_i\,\,\,(i = 1,\,\,2,\,\,3)$ を用いて表せ. \item  $x_1,\,\,x_2,\,\,x_3$ を $0 \leqq x_i \leqq n_i\,\,\,(i = 1,\,\,2,\,\,3),\, \,\,x_1 + x_2 + x_3 = N$ の範囲で変化させるとき, $P$ を最大にする $x_1,\,\,x_2,\,\,x_3$ を求めよ. またそのときの $P$ の値はいくらか. \hfill(配点率20%) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm $xyz$空間に1辺の長さ1の立方体OABC-DEFGがあり, 図のように頂点Oが原点に, Eが$x$軸の正の部分に, Cが$x$軸の正の部分に置かれている. いま,この立方体を$x$軸のまわりに回転させるとき, \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $xy$平面において,立方体の辺BCが通過する部分を $M$ とする. 図形 $M$ を表す方程式を求めよ. \item  $xy$平面において,立方体の面OABCが通過する部分を図示せよ.\\ \hfill(配点率20%) \vspace*{-1zw} \begin{center} %\input{osaka90s5f_zu_2}% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 20.2000, 17.6700)( 7.5000,-24.7700) % BOX 2 0 3 0 % 2 1164 1531 1920 2288 % \special{pn 8}% \special{pa 1164 1532}% \special{pa 1920 1532}% \special{pa 1920 2288}% \special{pa 1164 2288}% \special{pa 1164 1532}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1920 2288 2203 2004 % \special{pn 8}% \special{pa 1920 2288}% \special{pa 2204 2004}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1920 1531 2203 1247 % \special{pn 8}% \special{pa 1920 1532}% \special{pa 2204 1248}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1164 1531 1447 1247 % \special{pn 8}% \special{pa 1164 1532}% \special{pa 1448 1248}% \special{fp}% % LINE 2 2 3 0 % 2 1164 2288 1447 2004 % \special{pn 8}% \special{pa 1164 2288}% \special{pa 1448 2004}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 2 3 0 % 2 1447 2004 1447 1247 % \special{pn 8}% \special{pa 1448 2004}% \special{pa 1448 1248}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 2 3 0 % 2 1447 2004 2203 2004 % \special{pn 8}% \special{pa 1448 2004}% \special{pa 2204 2004}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2203 1247 1447 1247 % \special{pn 8}% \special{pa 2204 1248}% \special{pa 1448 1248}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2203 2004 2203 800 % \special{pn 8}% \special{pa 2204 2004}% \special{pa 2204 800}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2204 800}% \special{pa 2184 868}% \special{pa 2204 854}% \special{pa 2224 868}% \special{pa 2204 800}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2203 2004 880 2363 % \special{pn 8}% \special{pa 2204 2004}% \special{pa 880 2364}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 880 2364}% \special{pa 950 2366}% \special{pa 932 2350}% \special{pa 940 2326}% \special{pa 880 2364}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2203 2004 2770 2477 % \special{pn 8}% \special{pa 2204 2004}% \special{pa 2770 2478}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2770 2478}% \special{pa 2732 2420}% \special{pa 2730 2444}% \special{pa 2706 2450}% \special{pa 2770 2478}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1880 2330 1880 2430 2 0 % {\footnotesize A} \put(18.8000,-24.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1830 1390 1830 1490 2 0 % {\footnotesize B} \put(18.3000,-14.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2240 1190 2240 1290 2 0 % {\footnotesize C} \put(22.4000,-12.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2230 1910 2230 2010 2 0 % {\footnotesize O} \put(22.3000,-20.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1330 1900 1330 2000 2 0 % {\footnotesize D} \put(13.3000,-20.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1110 2330 1110 2430 2 0 % {\footnotesize E} \put(11.1000,-24.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize E}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1040 1460 1040 1560 2 0 % {\footnotesize F} \put(10.4000,-15.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize F}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1400 1110 1400 1210 2 0 % {\footnotesize G} \put(14.0000,-12.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize G}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 750 2320 750 2420 2 0 % $x$ \put(7.5000,-24.2000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2770 2500 2770 2600 2 0 % $y$ \put(27.7000,-26.0000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2240 780 2240 880 2 0 % $z$ \put(22.4000,-8.8000){\makebox(0,0)[lb]{$z$}}% \end{picture}% \end{center} \end{enumerate} \end{document}