大阪大学 前期理系 1983年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1983年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 方程式と不等式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 正の整数 $m,\,\,n$ が不等式 \smallskip$\sqrt{\vphantom{b} n} \leqq \dfrac{m}{2} < \sqrt{\vphantom{b} n+1}$ をみたしているとする.次のことを証明せよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $m^2 - 4n$ は0または1である. \item  $m < \sqrt{\vphantom{b} n} + \sqrt{\vphantom{b} n+1} < m + 1$ \hfill(満点30点) \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1983年度理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 正の整数 $m,\,\,n$ が不等式 \smallskip$\sqrt{\vphantom{b} n} \leqq \dfrac{m}{2} < \sqrt{\vphantom{b} n+1}$ をみたしているとする.次のことを証明せよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $m^2 - 4n$ は0または1である. \item  $m < \sqrt{\vphantom{b} n} + \sqrt{\vphantom{b} n+1} < m + 1$ \hfill(満点30点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm $a$ と $b$ は相異なる実数として, 1次変換 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & b \\ 3ab - 1 & 1\end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を考える. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  この1次変換による直線 $2x + y = 1$ の像の直線はどのような方程式で 表されるか. \item  $b$ がある値のとき, $a$ が $b$ と異なるどのような値であっても像の直線は $a$ の値に無関係な 一定の直線になる. この $b$ の値を求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 1辺の長さが1の正4面体の内部にたがいに外接する2つの球$P$,$Q$がある. 球$P$は正4面体の4面全部に接し, 球$Q$は正4面体の3面に接しているとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  球$P$の半径を求めよ. \item  球$Q$の半径を求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 曲線 $C_1 : y = \sqrt{\vphantom{b} x - c}\,\,\,(c > 0)$ と 曲線 $C_2 : y = e^{ax}\,\,\,(a > 0)$ が1点Pを共有し, その点において共通の接線 $l$ をもつとする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  点Pの座標および $c$ を $a$ を用いて表せ. \item  2つの曲線 $C_1,\,\,C_2$ と$x$軸, $y$軸とで囲まれる図形の面積を $a$ を用いて表せ. \item  曲線 $C_1$ と$x$軸との交点をQとし,\smallskip 直線PQと直線 $l$ のなす角を $\theta$ とする.\\ $a$ がどんな値のとき $\tan\theta = \dfrac{1}{4}$ となるか. \hfill(満点50点) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm つぼの中に1から4までの番号を書いた球が1個ずつ合計4個入っている. つぼから無作為に1個を取り出してその番号を記録し, つぼに戻す試行を考える. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  この試行をくり返し$n$回行う. こうして得られる$n$個の数字のうち$k$個が同じ値で, 残りの$(n - k)$個はそれよりも小さい値である 事象を $A_k$ とする$(1 \leqq k \leqq n)$. $A_k$ の確率 $P(A_k)$ を求めよ. \item  (1)における個数$k$の平均 $\sum\limits_{k=1}^n kP(A_k)$ を $E_n$ とおく. $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{E_n}{n}$ を求めよ.\smallskip \\ \hfill(満点40点) \end{enumerate} \end{document}