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解答作成者: 森 宏征
入試情報
| 大学名 |
大阪大学 |
| 学科・方式 |
前期理系 |
| 年度 |
1981年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
| カテゴリ |
数と式
|
| 状態 |
   |
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\begin{document}
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$x$ の多項式 $f(x)$ があり，
任意の実数 $a$ に対して，
$f(x) - f(a)$ がつねに $x^3 - a^3$ で割り切れるとする．
このとき，ある多項式 $g(x)$ によって，
$f(x) = g(x^3)$ と表されることを示せ．
\hfill(満点40点)
\vskip 2zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1981年度理系}の全問題を挙げる．
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
$x$ の多項式 $f(x)$ があり，
任意の実数 $a$ に対して，
$f(x) - f(a)$ がつねに $x^3 - a^3$ で割り切れるとする．
このとき，ある多項式 $g(x)$ によって，
$f(x) = g(x^3)$ と表されることを示せ．
\hfill(満点40点)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
実数 $t$ が $0 \leqq t \leqq \pi$ の範囲を動くとき，
座標が
\[
x = \frac{\cos t - a}{1 - 2a\cos t + a^2},\quad
y = \frac{\sin t}{1 - 2a\cos t + a^2}
\]
で与えられる平面上の点$\P(x,\,\,y)$はどのような図形を描くか．
ただし，$a$ は定数で，$\zettaiti{a} < 1$ とする．
\hfill(満点40点)
\vskip 2zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
空間内の平面 $\pi : x + y + z = 1$，
球面 $S : x^2 + y^2 + z^2 = 1$ を考え，
原点をOとする．
$\pi$ 上の点$\P(a,\,\,b,\,\,c)$に対して，\smallskip
線分OPまたはそのPのほうへの延長と $S$ との交点をQ，
Qを通り $\pi$ に垂直な直線と $\pi$ との交点をRとし，
$r = \overline{\mathstrut \O\P},\,\,\,
u = \overline{\mathstrut \P\R}^2$ とおく．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$u$ を $r$を用いて表せ．
\item
Pが $a \geqq 0,\,\,\,b \geqq 0,\,\,\,c \geqq 0$ を満たすとき，
$u$ を最大にする $r$ の値を求めよ．\\
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
平面上の点$\P(0,\,\,a)\,\,\,(a > 0)$を中心とし，
2点$\A(-1,\,\,0),\,\,\B(1,\,\,0)$を通る円を $C$ とする．
円 $C$ の$x$軸より下にある部分の弧$\ko{AB}$上の点の座標を%
$(x,\,\,f(x))\,\,\,(-1 \leqq x \leqq 1)$とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
定積分 $\displaystyle I = \int_{-1}^1 (1 + \{f'(x)\}^2)\,dx$ %
を $C$ の半径 $r$ を用いて表せ．
\item
$I$ を $r$ の関数と考えて，
$\lim\limits_{r \to \infty} I$ を求めよ．\smallskip
ただし，$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\log(1 + h)}{h} = 1$ を用いてよい．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
$(2n + 1)$枚のカードに $-n$ から $n$ までの各整数を1枚に1つずつ書いて
箱の中に入れる．
この箱の中から無作為に(でたらめに)1枚のカードを取り出し，
それに書かれている数を $X$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ．
\item
このカードを箱の中へ戻してから，
ふたたび無作為に1枚のカードを取り出して，
それに書かれている数を $Y$ とし，
$Z = X + Y$ とする．
$\zettaiti{k} \leqq 2n$ を満たす整数 $k$ に対して，
$Z = k$ となる確率を $p_k$ とする．
$p_k$ を $n$ と $k$ を用いて表せ．
\item
(2)の結果を利用して，
$Z$ の分散 $V(Z)$ を求めよ．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\end{document}
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