大阪大学 前期理系 1981年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1981年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 数と式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $x$ の多項式 $f(x)$ があり, 任意の実数 $a$ に対して, $f(x) - f(a)$ がつねに $x^3 - a^3$ で割り切れるとする. このとき,ある多項式 $g(x)$ によって, $f(x) = g(x^3)$ と表されることを示せ. \hfill(満点40点) \vskip 2zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1981年度理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $x$ の多項式 $f(x)$ があり, 任意の実数 $a$ に対して, $f(x) - f(a)$ がつねに $x^3 - a^3$ で割り切れるとする. このとき,ある多項式 $g(x)$ によって, $f(x) = g(x^3)$ と表されることを示せ. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 実数 $t$ が $0 \leqq t \leqq \pi$ の範囲を動くとき, 座標が \[ x = \frac{\cos t - a}{1 - 2a\cos t + a^2},\quad y = \frac{\sin t}{1 - 2a\cos t + a^2} \] で与えられる平面上の点$\P(x,\,\,y)$はどのような図形を描くか. ただし,$a$ は定数で,$\zettaiti{a} < 1$ とする. \hfill(満点40点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm 空間内の平面 $\pi : x + y + z = 1$, 球面 $S : x^2 + y^2 + z^2 = 1$ を考え, 原点をOとする. $\pi$ 上の点$\P(a,\,\,b,\,\,c)$に対して,\smallskip 線分OPまたはそのPのほうへの延長と $S$ との交点をQ, Qを通り $\pi$ に垂直な直線と $\pi$ との交点をRとし, $r = \overline{\mathstrut \O\P},\,\,\, u = \overline{\mathstrut \P\R}^2$ とおく. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $u$ を $r$を用いて表せ. \item  Pが $a \geqq 0,\,\,\,b \geqq 0,\,\,\,c \geqq 0$ を満たすとき, $u$ を最大にする $r$ の値を求めよ.\\ \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm 平面上の点$\P(0,\,\,a)\,\,\,(a > 0)$を中心とし, 2点$\A(-1,\,\,0),\,\,\B(1,\,\,0)$を通る円を $C$ とする. 円 $C$ の$x$軸より下にある部分の弧$\ko{AB}$上の点の座標を% $(x,\,\,f(x))\,\,\,(-1 \leqq x \leqq 1)$とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  定積分 $\displaystyle I = \int_{-1}^1 (1 + \{f'(x)\}^2)\,dx$ % を $C$ の半径 $r$ を用いて表せ. \item  $I$ を $r$ の関数と考えて, $\lim\limits_{r \to \infty} I$ を求めよ.\smallskip ただし,$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\log(1 + h)}{h} = 1$ を用いてよい. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm $(2n + 1)$枚のカードに $-n$ から $n$ までの各整数を1枚に1つずつ書いて 箱の中に入れる. この箱の中から無作為に(でたらめに)1枚のカードを取り出し, それに書かれている数を $X$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ. \item  このカードを箱の中へ戻してから, ふたたび無作為に1枚のカードを取り出して, それに書かれている数を $Y$ とし, $Z = X + Y$ とする. $\zettaiti{k} \leqq 2n$ を満たす整数 $k$ に対して, $Z = k$ となる確率を $p_k$ とする. $p_k$ を $n$ と $k$ を用いて表せ. \item  (2)の結果を利用して, $Z$ の分散 $V(Z)$ を求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \end{document}