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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
大阪大学 |
学科・方式 |
前期理系 |
年度 |
1985年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
|
カテゴリ |
式と証明
|
状態 |
 |
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\begin{document}
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$n$ は0以上の整数とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_1 + 2a_2 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2$ の組の個数 %
$X(n)$ を求めよ.
\item
$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2,\,\,a_3$ %
の組の個数を $Y(n)$ で表すとき,
次の等式
\[
Y(3n) + Y(3n + 1) + Y(3n + 2)
= \sum_{l=0}^{3n+2} X(l)
\]
が成り立つことを示し,
この式の右辺の値を計算せよ.
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下,
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1985年度理系}の全問題を挙げる.
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
$n$ は0以上の整数とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_1 + 2a_2 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2$ の組の個数 %
$X(n)$ を求めよ.
\item
$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2,\,\,a_3$ %
の組の個数を $Y(n)$ で表すとき,
次の等式
\[
Y(3n) + Y(3n + 1) + Y(3n + 2)
= \sum_{l=0}^{3n+2} X(l)
\]
が成り立つことを示し,
この式の右辺の値を計算せよ.
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
座標平面上で,
点$\P(x,\,\,y)$を点$\P(x',\,\,y')$へうつす一次変換 $f$ が
\[
\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\!\!
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
で与えられている.
点$\P_1(x_1,\,\,y_1)$が $x_1 \neq y_1$ をみたすとし,\\
$\P_{n+1} = f(\P_n)\,\,\,n = 1,\,\,2,\,\,\cdots$ によって$\P_2,\,\,\P_3,\,\,
\cdots$を定め,
$\P_n$の座標を$(x_n,\,\,y_n)$とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
ベクトル $\bekutoru{$\P_1\P_2$}$ は,
点$\P_1$の位置に無関係な,
原点を通る定直線に平行であることを示せ.
\item
ベクトル $\bekutoru{$\P_1\P_n$}$ を $\bekutoru{$\P_1\P_2$}$ によって
表せ.
\item
どの $y_n$ も0とならないとき,\smallskip
数列 $\left\{\dfrac{x_n}{y_n} \right\}$ は収束することを示し,
その極限値を求めよ.
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$a$ を実数とするとき,
関数
\[
f(x)
= a\tan\left(\frac{\pi}{4}x \right) - x - a + 1
\]
について次の問に答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$f(x)$ が $0 < x < 1$ において極値をもつような $a$ の範囲を求め,
このとき極値は $0 \leqq x \leqq 1$ における最小値であることを示せ.
\item
方程式 $f(x) = 0$ が $0 < x < 1$ において解をもつような $a$ の範囲を求め,
このとき解はただ1つに限ることを示せ.
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$k$ を正数とし,
$f(x) = x^3 - 10x^2 + kx$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
方程式 $f(x) = 0$ が3個の実数解をもち,
それらの解が互いに1以上離れているための $k$ の条件を求めよ.
\item
(1)の条件を満たす $k$ のうちで,
曲線 $y = f(x)$ と$x$軸とによって囲まれる図形の面積を最小にするものを求めよ.
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
下図のような,1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGOを考え,
Aを頂点とし3角形OFGを底面とする3角錐と,
Cを頂点とし3角形OFEを底面とする3角錐との共通部分を $V$ とする.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
平面 $z=a$ による $V$ の切口の面積の最大値を求めよ.
\item
$V$ の体積を求めよ.
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\hspace{50mm}
%WinTpicVersion3.08
\unitlength 0.1in
\begin{picture}( 15.0200, 18.6500)( 18.2000,-24.0500)
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 1952 2192 1820 2405
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1952 2192}%
\special{pa 1820 2406}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 1820 2406}%
\special{pa 1872 2360}%
\special{pa 1848 2360}%
\special{pa 1838 2338}%
\special{pa 1820 2406}%
\special{fp}%
% POLYGON 2 0 3 0
% 5 1952 2192 1952 1265 2880 1265 2880 2192 1952 2192
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1952 2192}%
\special{pa 1952 1266}%
\special{pa 2880 1266}%
\special{pa 2880 2192}%
\special{pa 1952 2192}%
\special{fp}%
% POLYGON 2 2 3 0
% 5 2171 1841 2171 919 3093 919 3093 1841 2171 1841
%
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\special{pa 2172 1842}%
\special{pa 2172 920}%
\special{pa 3094 920}%
\special{pa 3094 1842}%
\special{pa 2172 1842}%
\special{dt 0.045}%
% POLYLINE 2 0 3 0
% 4 2171 919 3093 919 3093 1841 3093 1841
%
\special{pn 8}%
\special{pa 2172 920}%
\special{pa 3094 920}%
\special{pa 3094 1842}%
\special{pa 3094 1842}%
\special{fp}%
% POLYLINE 2 2 3 0
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%
\special{pn 8}%
\special{pa 2172 920}%
\special{pa 2172 1842}%
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\special{pa 3094 1842}%
\special{dt 0.045}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 2880 2192 3093 1841
%
\special{pn 8}%
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% 2 3093 1841 3322 1841
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\special{pn 8}%
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\special{pa 3322 1842}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 3322 1842}%
\special{pa 3256 1822}%
\special{pa 3270 1842}%
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\special{pa 3322 1842}%
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% 2 2171 919 2171 656
%
\special{pn 8}%
\special{pa 2172 920}%
\special{pa 2172 656}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 2172 656}%
\special{pa 2152 724}%
\special{pa 2172 710}%
\special{pa 2192 724}%
\special{pa 2172 656}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1830 1162 1830 1260 2 0
% {\footnotesize A}
\put(18.3000,-12.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}%
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% 3 2792 1138 2792 1236 2 0
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\put(27.9200,-12.3600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}%
% STR 2 0 3 0
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% {\footnotesize C}
\put(30.8700,-9.1200){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}%
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\put(22.0000,-8.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}%
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\put(18.2000,-21.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize E}}}%
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\put(28.5000,-23.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize F}}}%
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% 3 3110 1712 3110 1810 2 0
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\put(31.1000,-18.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize G}}}%
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\put(21.5000,-19.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}%
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\put(18.8000,-24.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$x$}}}%
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\put(20.7000,-7.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$z$}}}%
\end{picture}%
\end{document}