大阪大学 前期理系 1985年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1985年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{delarray} \usepackage{graphicx} \usepackage{custom_mori} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} $n$ は0以上の整数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_1 + 2a_2 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2$ の組の個数 % $X(n)$ を求めよ. \item  $a_1 + 2a_2 + 3a_3 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2,\,\,a_3$ % の組の個数を $Y(n)$ で表すとき, 次の等式 \[ Y(3n) + Y(3n + 1) + Y(3n + 2) = \sum_{l=0}^{3n+2} X(l) \] が成り立つことを示し, この式の右辺の値を計算せよ. \end{enumerate} \vskip 1zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1985年度理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm $n$ は0以上の整数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_1 + 2a_2 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2$ の組の個数 % $X(n)$ を求めよ. \item  $a_1 + 2a_2 + 3a_3 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2,\,\,a_3$ % の組の個数を $Y(n)$ で表すとき, 次の等式 \[ Y(3n) + Y(3n + 1) + Y(3n + 2) = \sum_{l=0}^{3n+2} X(l) \] が成り立つことを示し, この式の右辺の値を計算せよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 座標平面上で, 点$\P(x,\,\,y)$を点$\P(x',\,\,y')$へうつす一次変換 $f$ が \[ \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \] で与えられている. 点$\P_1(x_1,\,\,y_1)$が $x_1 \neq y_1$ をみたすとし,\\ $\P_{n+1} = f(\P_n)\,\,\,n = 1,\,\,2,\,\,\cdots$ によって$\P_2,\,\,\P_3,\,\, \cdots$を定め, $\P_n$の座標を$(x_n,\,\,y_n)$とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  ベクトル $\bekutoru{$\P_1\P_2$}$ は, 点$\P_1$の位置に無関係な, 原点を通る定直線に平行であることを示せ. \item  ベクトル $\bekutoru{$\P_1\P_n$}$ を $\bekutoru{$\P_1\P_2$}$ によって 表せ. \item  どの $y_n$ も0とならないとき,\smallskip 数列 $\left\{\dfrac{x_n}{y_n} \right\}$ は収束することを示し, その極限値を求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $a$ を実数とするとき, 関数 \[ f(x) = a\tan\left(\frac{\pi}{4}x \right) - x - a + 1 \] について次の問に答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f(x)$ が $0 < x < 1$ において極値をもつような $a$ の範囲を求め, このとき極値は $0 \leqq x \leqq 1$ における最小値であることを示せ. \item  方程式 $f(x) = 0$ が $0 < x < 1$ において解をもつような $a$ の範囲を求め, このとき解はただ1つに限ることを示せ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く} \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $k$ を正数とし, $f(x) = x^3 - 10x^2 + kx$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  方程式 $f(x) = 0$ が3個の実数解をもち, それらの解が互いに1以上離れているための $k$ の条件を求めよ. \item  (1)の条件を満たす $k$ のうちで, 曲線 $y = f(x)$ と$x$軸とによって囲まれる図形の面積を最小にするものを求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{5}} \vskip 1mm 下図のような,1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGOを考え, Aを頂点とし3角形OFGを底面とする3角錐と, Cを頂点とし3角形OFEを底面とする3角錐との共通部分を $V$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  平面 $z=a$ による $V$ の切口の面積の最大値を求めよ. \item  $V$ の体積を求めよ. \hfill(満点40点) \end{enumerate} \hspace{50mm} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 15.0200, 18.6500)( 18.2000,-24.0500) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1952 2192 1820 2405 % \special{pn 8}% \special{pa 1952 2192}% \special{pa 1820 2406}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1820 2406}% \special{pa 1872 2360}% \special{pa 1848 2360}% \special{pa 1838 2338}% \special{pa 1820 2406}% \special{fp}% % POLYGON 2 0 3 0 % 5 1952 2192 1952 1265 2880 1265 2880 2192 1952 2192 % \special{pn 8}% \special{pa 1952 2192}% \special{pa 1952 1266}% \special{pa 2880 1266}% \special{pa 2880 2192}% \special{pa 1952 2192}% \special{fp}% % POLYGON 2 2 3 0 % 5 2171 1841 2171 919 3093 919 3093 1841 2171 1841 % \special{pn 8}% \special{pa 2172 1842}% \special{pa 2172 920}% \special{pa 3094 920}% \special{pa 3094 1842}% \special{pa 2172 1842}% \special{dt 0.045}% % POLYLINE 2 0 3 0 % 4 2171 919 3093 919 3093 1841 3093 1841 % \special{pn 8}% \special{pa 2172 920}% \special{pa 3094 920}% \special{pa 3094 1842}% \special{pa 3094 1842}% \special{fp}% % POLYLINE 2 2 3 0 % 4 2171 919 2171 1841 3093 1841 3093 1841 % \special{pn 8}% \special{pa 2172 920}% \special{pa 2172 1842}% \special{pa 3094 1842}% \special{pa 3094 1842}% \special{dt 0.045}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2880 2192 3093 1841 % \special{pn 8}% \special{pa 2880 2192}% \special{pa 3094 1842}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2880 1265 3093 919 % \special{pn 8}% \special{pa 2880 1266}% \special{pa 3094 920}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1952 1265 2171 919 % \special{pn 8}% \special{pa 1952 1266}% \special{pa 2172 920}% \special{fp}% % LINE 2 2 3 0 % 2 1952 2192 2171 1841 % \special{pn 8}% \special{pa 1952 2192}% \special{pa 2172 1842}% \special{dt 0.045}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 3093 1841 3322 1841 % \special{pn 8}% \special{pa 3094 1842}% \special{pa 3322 1842}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 3322 1842}% \special{pa 3256 1822}% \special{pa 3270 1842}% \special{pa 3256 1862}% \special{pa 3322 1842}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2171 919 2171 656 % \special{pn 8}% \special{pa 2172 920}% \special{pa 2172 656}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2172 656}% \special{pa 2152 724}% \special{pa 2172 710}% \special{pa 2192 724}% \special{pa 2172 656}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1830 1162 1830 1260 2 0 % {\footnotesize A} \put(18.3000,-12.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2792 1138 2792 1236 2 0 % {\footnotesize B} \put(27.9200,-12.3600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3087 814 3087 912 2 0 % {\footnotesize C} \put(30.8700,-9.1200){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2200 782 2200 880 2 0 % {\footnotesize D} \put(22.0000,-8.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1820 2092 1820 2190 2 0 % {\footnotesize E} \put(18.2000,-21.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize E}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2850 2222 2850 2320 2 0 % {\footnotesize F} \put(28.5000,-23.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize F}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3110 1712 3110 1810 2 0 % {\footnotesize G} \put(31.1000,-18.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize G}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2150 1862 2150 1960 2 0 % {\footnotesize O} \put(21.5000,-19.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1880 2322 1880 2420 2 0 % {\footnotesize$x$} \put(18.8000,-24.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$x$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3250 1862 3250 1960 2 0 % {\footnotesize$y$} \put(32.5000,-19.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$y$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2070 612 2070 710 2 0 % {\footnotesize$z$} \put(20.7000,-7.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$z$}}}% \end{picture}% \end{document}