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大阪大学 前期理系 1985年度 問1
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解答作成者: 森 宏征
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入試情報
| 大学名 | 大阪大学 |
|---|---|
| 学科・方式 | 前期理系 |
| 年度 | 1985年度 |
| 問No | 問1 |
| 学部 | 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部 |
| カテゴリ | 式と証明 |
| 状態 |    |
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\begin{document}
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\setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw}
$n$ は0以上の整数とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_1 + 2a_2 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2$ の組の個数 %
$X(n)$ を求めよ．
\item
$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2,\,\,a_3$ %
の組の個数を $Y(n)$ で表すとき，
次の等式
\[
Y(3n) + Y(3n + 1) + Y(3n + 2)
= \sum_{l=0}^{3n+2} X(l)
\]
が成り立つことを示し，
この式の右辺の値を計算せよ．
\end{enumerate}
\vskip 1zw
以下，
{\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 1985年度理系}の全問題を挙げる．
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{1}}
\vskip 1mm
$n$ は0以上の整数とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_1 + 2a_2 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2$ の組の個数 %
$X(n)$ を求めよ．
\item
$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = n$ をみたす0以上の整数 $a_1,\,\,a_2,\,\,a_3$ %
の組の個数を $Y(n)$ で表すとき，
次の等式
\[
Y(3n) + Y(3n + 1) + Y(3n + 2)
= \sum_{l=0}^{3n+2} X(l)
\]
が成り立つことを示し，
この式の右辺の値を計算せよ．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{2}}
\vskip 1mm
座標平面上で，
点$\P(x,\,\,y)$を点$\P(x',\,\,y')$へうつす一次変換 $f$ が
\[
\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\!\!
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
で与えられている．
点$\P_1(x_1,\,\,y_1)$が $x_1 \neq y_1$ をみたすとし，\\
$\P_{n+1} = f(\P_n)\,\,\,n = 1,\,\,2,\,\,\cdots$ によって$\P_2,\,\,\P_3,\,\,
\cdots$を定め，
$\P_n$の座標を$(x_n,\,\,y_n)$とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
ベクトル $\bekutoru{$\P_1\P_2$}$ は，
点$\P_1$の位置に無関係な，
原点を通る定直線に平行であることを示せ．
\item
ベクトル $\bekutoru{$\P_1\P_n$}$ を $\bekutoru{$\P_1\P_2$}$ によって
表せ．
\item
どの $y_n$ も0とならないとき，\smallskip
数列 $\left\{\dfrac{x_n}{y_n} \right\}$ は収束することを示し，
その極限値を求めよ．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{3}}
\vskip 1mm
$a$ を実数とするとき，
関数
\[
f(x)
= a\tan\left(\frac{\pi}{4}x \right) - x - a + 1
\]
について次の問に答えよ．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$f(x)$ が $0 < x < 1$ において極値をもつような $a$ の範囲を求め，
このとき極値は $0 \leqq x \leqq 1$ における最小値であることを示せ．
\item
方程式 $f(x) = 0$ が $0 < x < 1$ において解をもつような $a$ の範囲を求め，
このとき解はただ1つに限ることを示せ．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\hfill{\color[named]{MidnightBlue} \ding{"2B} 次のページに続く}
\newpage
\noindent{\large \bfseries \fbox{4}}
\vskip 1mm
$k$ を正数とし，
$f(x) = x^3 - 10x^2 + kx$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
方程式 $f(x) = 0$ が3個の実数解をもち，
それらの解が互いに1以上離れているための $k$ の条件を求めよ．
\item
(1)の条件を満たす $k$ のうちで，
曲線 $y = f(x)$ と$x$軸とによって囲まれる図形の面積を最小にするものを求めよ．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\vskip 1zw
\noindent{\large \bfseries \fbox{5}}
\vskip 1mm
下図のような，1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGOを考え，
Aを頂点とし3角形OFGを底面とする3角錐と，
Cを頂点とし3角形OFEを底面とする3角錐との共通部分を $V$ とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
平面 $z=a$ による $V$ の切口の面積の最大値を求めよ．
\item
$V$ の体積を求めよ．
\hfill(満点40点)
\end{enumerate}
\hspace{50mm}
%WinTpicVersion3.08
\unitlength 0.1in
\begin{picture}( 15.0200, 18.6500)( 18.2000,-24.0500)
% VECTOR 2 0 3 0
% 2 1952 2192 1820 2405
%
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\special{pa 1952 2192}%
\special{pa 1820 2406}%
\special{fp}%
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\special{pa 1848 2360}%
\special{pa 1838 2338}%
\special{pa 1820 2406}%
\special{fp}%
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% 5 1952 2192 1952 1265 2880 1265 2880 2192 1952 2192
%
\special{pn 8}%
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\special{pa 1952 1266}%
\special{pa 2880 1266}%
\special{pa 2880 2192}%
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% POLYGON 2 2 3 0
% 5 2171 1841 2171 919 3093 919 3093 1841 2171 1841
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\special{pa 2172 920}%
\special{pa 3094 920}%
\special{pa 3094 1842}%
\special{pa 2172 1842}%
\special{dt 0.045}%
% POLYLINE 2 0 3 0
% 4 2171 919 3093 919 3093 1841 3093 1841
%
\special{pn 8}%
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\special{pa 3094 1842}%
\special{fp}%
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\special{pn 8}%
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\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 3322 1842}%
\special{pa 3256 1822}%
\special{pa 3270 1842}%
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% VECTOR 2 0 3 0
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%
\special{pn 8}%
\special{pa 2172 920}%
\special{pa 2172 656}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 2172 656}%
\special{pa 2152 724}%
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\special{pa 2192 724}%
\special{pa 2172 656}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1830 1162 1830 1260 2 0
% {\footnotesize A}
\put(18.3000,-12.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}%
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\put(30.8700,-9.1200){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}%
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\put(28.5000,-23.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize F}}}%
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\put(21.5000,-19.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}%
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\put(20.7000,-7.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$z$}}}%
\end{picture}%
\end{document}
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